问题描述：已知三维空间中的三个点 P 1 P_1 P1​， P 2 P_2 P2​和 P 3 P_3 P3​，求向量 P 1 P 2 → \overrightarrow{P_1P_2} P1​P2​ ​和 P 1 P 3 → \overrightarrow{P_1P_3} P1​P3​ ​之间的夹角，要求必须能够计算出[0, 2 π \pi π)之间的数值，而不仅仅是只能求出锐角，并用C++或Python或MATLAB语言进行算法实现。

问题分析：为了求解出这个问题，首先需要引入三维向量的点乘和叉乘的知识。最后，根据点乘和叉乘推导出两个空间向量之间夹角的求解公式。 空间三维向量的叉乘： C → = A → × B → \overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} C =A ×B ， C → \overrightarrow{C} C 也是一个空间三维向量，方向通过右手定则来判断，即一个垂直于向量 A → \overrightarrow{A} A 和向量 B → \overrightarrow{B} B 所在平面的向量。 (0) ∣ C → ∣ = ∣ A → × B → ∣ = ∣ A → ∣ ∗ ∣ B → ∣ ∗ s i n ( θ ) |\overrightarrow{C}|=|\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}|=|\overrightarrow{A} |*| \overrightarrow{B}|*sin(\theta) \tag{0} ∣C ∣=∣A ×B ∣=∣A ∣∗∣B ∣∗sin(θ)(0)

向量 A → ∗ B → \overrightarrow{A}*\overrightarrow{B} A ∗B 是一个数，它的大小是： (1) A → ∗ B → = ∣ A → ∣ ∗ ∣ B → ∣ ∗ c o s ( θ ) \overrightarrow{A}*\overrightarrow{B}=|\overrightarrow{A}|*|\overrightarrow{B}|*cos(\theta) \tag{1} A ∗B =∣A ∣∗∣B ∣∗cos(θ)(1) 现在，将 C → = A → × B → \overrightarrow{C}=\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} C =A ×B 和 C → \overrightarrow{C} C 代入上述公式(1)，则有如下的表达式： (2) C → ∗ C → = ( A → × B → ) ∗ C → = ∣ A → × B → ∣ ∗ ∣ C → ∣ ∗ c o s ( θ ) \overrightarrow{C} * \overrightarrow{C}=(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) * \overrightarrow{C}=|\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}| * |\overrightarrow{C}| * cos(\theta) \tag{2} C ∗C =(A ×B )∗C =∣A ×B ∣∗∣C ∣∗cos(θ)(2) 因此，有： (3) c o s ( θ ) = ( A → × B → ) ∗ C → ∣ A → × B → ∣ ∗ ∣ C → ∣ = c o s ( 0 ) = 1 cos(\theta)=\frac{(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) * \overrightarrow{C}}{|\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}| * |\overrightarrow{C}|} = cos(0) = 1 \tag{3} cos(θ)=∣A ×B ∣∗∣C ∣(A ×B )∗C ​=cos(0)=1(3) 注意：在公式(3)中，之所以为 c o s ( θ ) = c o s ( 0 ) cos(\theta)=cos(0) cos(θ)=cos(0)，因为 A → × B → = C → \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}=\overrightarrow{C} A ×B =C 。 由公式(3)结合公式(0)，有： (4) ∣ C → ∣ = ∣ A → × B → ∣ = ( A → × B → ) ∗ C → ∣ C → ∣ = ( A → × B → ) ∗ n → = ∣ A → ∣ ∗ ∣ B → ∣ ∗ s i n ( θ ) |\overrightarrow{C}|=|\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}|=\frac{(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) * \overrightarrow{C}}{|\overrightarrow{C}|}=(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})*\overrightarrow{n}=|\overrightarrow{A}|*|\overrightarrow{B}|*sin(\theta) \tag{4} ∣C ∣=∣A ×B ∣=∣C ∣(A ×B )∗C ​=(A ×B )∗n =∣A ∣∗∣B ∣∗sin(θ)(4) 注意： n → \overrightarrow{n} n 是 C → \overrightarrow{C} C 的单位向量，即 A → × B → \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} A ×B 的单位法向量。 接下来，我们再来推导如何求解 θ \theta θ 的公式： 综合公式(4)和公式(2)，可得： (5) θ = a t a n 2 ( s i n ( θ ) , c o s ( θ ) ) = a t a n 2 ( ( A → × B → ) ∗ n → , A → ∗ B → ) = a t a n 2 ( ( A → × B → ) . n o r m ( ) , A → ∗ B → ) \theta = atan2(sin(\theta), cos(\theta))=atan2((\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})*\overrightarrow{n}, \overrightarrow{A}*\overrightarrow{B}) =atan2((\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}).norm(), \overrightarrow{A}*\overrightarrow{B}) \tag{5} θ=atan2(sin(θ),cos(θ))=atan2((A ×B )∗n ,A ∗B )=atan2((A ×B ).norm(),A ∗B )(5) 但是，存在一个问题，即公式(5)返回的数值是一个范围在 0 到 π \pi π 之间的数值，而不是我们想要的 0 到 2 π \pi π的数值，即存在旋转的方向问题，当旋转的角度超过 18 0 ∘ 180^{\circ} 180∘ 时，就会就会计算出一个反向旋转的角度小于 18 0 ∘ 180^{\circ} 180∘的角度值。为此，我们需要判断旋转的方向，即在向量叉乘的过程中得到的法向量的 z z z 值是正的还是负的。通过这个来判断法向量的方向问题，通常当法向量的 z z z 值如果是负的，那么需要通过 2 π − θ 2\pi-\theta 2π−θ 来得到真实的旋转角度，此时得到的旋转角度是一个大于 π \pi π 的数值。

公式推导完毕之后，我们就可以通过C++编程来实现该求解算法。我们会使用到Eigen线性代数库，这是一个在数值计算和机器人以及计算机视觉、图像处理等领域非常重要的一个基础库，很多重量级的开源算法库都是在Eigen基础上构建的。Eigen也非常好用，甚至直接从官网下载源代码解压就可以用，因为这个库只有头文件，不需要编译源码，解压即安装。 CMakeLists.txt

main.cpp