用正交变换将二次型化为标准形

用正交变换将二次型化为标准形是数学三考研中的重要题型，它综合考察了学生对二次型理论、相似对角化理论、欧式空间理论掌握的熟练程度。解题过程要用到写二次型的矩阵、求矩阵的特征值和特征向量、施密特正交化、单位化等等计算技能，对学生的线性代数知识要求比较高。这类问题往往含有参数，第一问确定参数，第二问求二次型的 标准形。

下面用例子说明这种问题的解法。

定理 对于任意一个 n n n级实对称矩阵 A A A，都存在一个 n n n级正交矩阵 T T T，使得 T ′ A T = T − 1 A T T^\prime AT=T^{-1}AT T′AT=T−1AT成为对角矩阵 Λ \Lambda Λ.

说明：由于正交矩阵 T T T满足 T ′ T = E T^\prime T=E T′T=E， 所以 T ′ A T = T − 1 A T = Λ . T^\prime AT=T^{-1}AT=\Lambda. T′AT=T−1AT=Λ. 这个等式既可以解释为将二次型化为标准形，又可以解释为用相似变换将矩阵 A A A化为对角矩阵 Λ \Lambda Λ. 合同变换过程可以用相似对角化过程代替，这种求二次型的标准形的方法就是特征值方法.

解题步骤

例1 用正交变换将二次型 X T A X = x 1 2 + 5 x 2 2 + 5 x 3 2 + 2 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 \displaystyle X^TAX=x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2-4x_1x_3 XTAX=x12​+5x22​+5x32​+2x1​x2​−4x1​x3​化为标准形.

解：令

A = [ 1 1 − 2 1 5 0 − 2 0 5 ] . A=\begin{bmatrix}1;1;-2\\1;5;0\\-2;0;5\end{bmatrix}. A=⎣⎡​11−2​150​−205​⎦⎤​.

由矩阵的特征多项式

∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − 1 − 1 2 − 1 λ − 5 0 2 0 λ − 5 ∣ |\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1;-1;2\\-1;\lambda-5;0\\2;0;\lambda-5\end{vmatrix} ∣λE−A∣=∣∣∣∣∣∣​λ−1−12​−1λ−50​20λ−5​∣∣∣∣∣∣​

= 2 r 2 + r 3 ∣ λ − 1 − 1 2 − 1 λ − 5 0 0 2 ( λ − 5 ) λ − 5 ∣ \xlongequal{2r_2+r_3}\begin{vmatrix}\lambda-1;-1;2\\-1;\lambda-5;0\\0;2(\lambda-5);\lambda-5\end{vmatrix} 2r2​+r3​ ∣∣∣∣∣∣​λ−1−10​−1λ−52(λ−5)​20λ−5​∣∣∣∣∣∣​

= − 2 c 3 + c 2 ∣ λ − 1 − 5 2 − 1 λ − 5 0 0 0 λ − 5 ∣ \xlongequal{-2c_3+c_2}\begin{vmatrix}\lambda-1;-5;2\\-1;\lambda-5;0\\0;0;\lambda-5\end{vmatrix} −2c3​+c2​ ∣∣∣∣∣∣​λ−1−10​−5λ−50​20λ−5​∣∣∣∣∣∣​

按照第三行展开得，

= ( λ − 5 ) ( λ 2 − 6 λ ) =(\lambda-5)(\lambda^2-6\lambda) =(λ−5)(λ2−6λ)

得到 A \displaystyle A A的特征值为0，5，6.

当 λ = 5 \lambda=5 λ=5时，由 ( 5 E − A ) x = 0 \displaystyle (5E-A)x=0 (5E−A)x=0, 即

[ 4 − 1 2 − 1 0 0 2 0 0 ] → [ 1 0 0 0 1 − 2 0 0 0 ] \begin{bmatrix}4;-1;2\\-1;0;0\\2;0;0\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1;0;0\\0;1;-2\\0;0;0\end{bmatrix} ⎣⎡​4−12​−100​200​⎦⎤​→⎣⎡​100​010​0−20​⎦⎤​

得基础解系

α 1 = [ 0 , 2 , 1 ] T \alpha_1=\begin{bmatrix}0,;2,;1\end{bmatrix}^T α1​=[0,​2,​1​]T，即 λ = 5 \lambda=5 λ=5的特征向量.

当 λ = 6 \lambda=6 λ=6时，由 ( 6 E − A ) x = 0 \displaystyle (6E-A)x=0 (6E−A)x=0, 即

[ 5 − 1 2 − 1 1 0 2 0 1 ] → [ 1 0 1 2 0 1 1 2 0 0 0 ] \begin{bmatrix}5;-1;2\\-1;1;0\\2;0;1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1;0;\frac{1}{2}\\0;1;\frac{1}{2}\\0;0;0\end{bmatrix} ⎣⎡​5−12​−110​201​⎦⎤​→⎣⎡​100​010​21​21​0​⎦⎤​

得基础解系

α 2 = [ 1 , 1 , − 2 ] T ， \alpha_2=\begin{bmatrix}1,;1,;-2\end{bmatrix}^T， α2​=[1,​1,​−2​]T，

即 λ = 6 \lambda=6 λ=6的特征向量.

当 λ = 0 \lambda=0 λ=0时，由 ( 0 E − A ) x = 0 \displaystyle (0E-A)x=0 (0E−A)x=0, 即

[ − 1 − 1 2 − 1 − 5 0 2 0 − 5 ] → [ 1 0 − 5 2 0 1 1 2 0 0 0 ] \begin{bmatrix}-1;-1;2\\-1;-5;0\\2;0;-5\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1;0;-\frac{5}{2}\\0;1;\frac{1}{2}\\0;0;0\end{bmatrix} ⎣⎡​−1−12​−1−50​20−5​⎦⎤​→⎣⎡​100​010​−25​21​0​⎦⎤​

得基础解系

α 3 = [ 5 , − 1 , 2 ] T ， \alpha_3=\begin{bmatrix}5,;-1,;2\end{bmatrix}^T， α3​=[5,​−1,​2​]T，

即 λ = 0 \lambda=0 λ=0的特征向量.

由于实对称矩阵，特征值不同时特征向量已经正交，故只需单位化，有

γ 1 = 1 5 [ 0 2 1 ] , γ 2 = 1 6 [ 1 1 − 2 ] , γ 3 = 1 3 0 [ 5 − 1 2 ] . \gamma_1=\frac{1}{\sqrt 5}\begin{bmatrix}0\\2\\1\end{bmatrix}, \gamma_2=\frac{1}{\sqrt 6}\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix}, \gamma_3=\frac{1}{\sqrt 30}\begin{bmatrix}5\\-1\\2\end{bmatrix}. γ1​=5 ​1​⎣⎡​021​⎦⎤​,γ2​=6 ​1​⎣⎡​11−2​⎦⎤​,γ3​=3 ​01​⎣⎡​5−12​⎦⎤​.

令

P = [ γ 1 , γ 2 , γ 3 ] = [ 0 1 6 5 3 0 2 5 1 6 − 1 3 0 1 5 − 2 6 2 3 0 ] P=\begin{bmatrix}\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0;\frac{1}{\sqrt 6};\frac{5}{\sqrt 30}\\\frac{2}{\sqrt 5};\frac{1}{\sqrt 6};-\frac{1}{\sqrt 30}\\\frac{1}{\sqrt 5};-\frac{2}{\sqrt 6};\frac{2}{\sqrt 30}\end{bmatrix} P=[γ1​,γ2​,γ3​​]=⎣⎢⎡​05 ​2​5 ​1​​6 ​1​6 ​1​−6 ​2​​3 ​05​−3 ​01​3 ​02​​⎦⎥⎤​

经正交变换 x = P y x=Py x=Py, 二次型化为标准形

X T A X = 5 y 1 2 + 6 y 2 2 . □ X^TAX=5y_1^2+6y_2^2. \quad\quad \square XTAX=5y12​+6y22​.□

例2 用正交变换将二次型 X T A X = 2 x 1 2 + 2 x 2 2 + 2 x 3 2 + 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 − 2 x 2 x 3 X^TAX=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3 XTAX=2x12​+2x22​+2x32​+2x1​x2​+2x1​x3​−2x2​x3​化为标准形.

解：计算特征值和特征向量的过程同例１，故省略这部分的步骤．

这个二次型的矩阵为 A = [ 2 1 1 1 2 − 1 1 − 1 2 ] A=\begin{bmatrix}2;1;1\\1;2;-1\\1;-1;2\end{bmatrix} A=⎣⎡​211​12−1​1−12​⎦⎤​

经计算，特征值为 λ 1 = λ 2 = 3 , λ 3 = 0. \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=3, \lambda_3=0. λ1​=λ2​=3,λ3​=0. 它们对应的特征向量分别为，

α 1 = [ 1 , 1 , 0 ] T , α 2 = [ 1 , 0 , 1 ] T , α 3 = [ − 1 , 1 , 1 ] T \alpha_1=\begin{bmatrix}1,;1,;0\end{bmatrix}^T, \alpha_2=\begin{bmatrix}1,;0,;1\end{bmatrix}^T, \alpha_3=\begin{bmatrix}-1,;1,;1\end{bmatrix}^T α1​=[1,​1,​0​]T,α2​=[1,​0,​1​]T,α3​=[−1,​1,​1​]T

因为 λ = 3 \displaystyle \lambda=3 λ=3时，特征向量 α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α1​,α2​不正交，故需Schmidt正交化.

令

β 1 = α 1 = [ 1 1 0 ] , \beta_1=\alpha_1=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}, β1​=α1​=⎣⎡​110​⎦⎤​,

则 β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 \beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 β2​=α2​−(β1​,β1​)(α2​,β1​)​β1​

= [ 1 0 1 ] − 1 2 [ 1 1 0 ] = 1 2 [ 1 − 1 2 ] . =\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}. =⎣⎡​101​⎦⎤​−21​⎣⎡​110​⎦⎤​=21​⎣⎡​1−12​⎦⎤​.

单位化，有

γ 1 = 1 2 [ 1 1 0 ] , γ 2 = 1 6 [ 1 − 1 2 ] , γ 3 = 1 3 [ − 1 1 1 ] . \gamma_1=\frac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix},\gamma_2=\frac{1}{\sqrt 6}\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix},\gamma_3=\frac{1}{\sqrt 3}\begin{bmatrix}-1\\1\\1\end{bmatrix}. γ1​=2 ​1​⎣⎡​110​⎦⎤​,γ2​=6 ​1​⎣⎡​1−12​⎦⎤​,γ3​=3 ​1​⎣⎡​−111​⎦⎤​.

令 P = ( γ 1 , γ 2 , γ 3 ) , \displaystyle P=(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3), P=(γ1​,γ2​,γ3​),

那么，经过正交变换 x = P y , \displaystyle x=Py, x=Py,有

X T A X = Y T Λ Y = 3 y 1 2 + 3 y 2 2 . X^TAX=Y^T\Lambda Y=3y_1^2+3y_2^2. XTAX=YTΛY=3y12​+3y22​.

更多内容，欢迎用微信扫描下图中的二维码，或搜索“大哉数学之为用”，免费关注微信公众号“大哉数学之为用”进行阅读。 如果您觉得本文对您有帮助，欢迎赞赏！您的支持是作者继续下去的动力！