【高数】微分方程求解的疑问：通解与全部解？常数取值范围？绝对值如何去掉？一阶线性微分方程的通解是变限积分吗？

2024-06-27 08:24| 来源: 网络整理| 查看: 265

针对微分方程求解的一些小问题。

1. 通解是全部解吗

不一定。

考研《考试大纲》中，只要求求出通解，不要求全部的解。比如分离变量时，有部分变量在分母上，定义域是其不为0，而就丢失了其=0时的部分解，这在考试中是可以的。

2. 常数的取值范围

理论上，C应取定义域内的任意常数，但在做题时很少遇到不是任意常数的。

《“微分方程的通解”探析》：https://www.ixueshu.com/document/d6c9977ea6954671.html

3. ∫1/x 的绝对值

∫1/x 积分后得 ln|x| + lnC1，这里的绝对值是否去掉，要看等式另一端，是否有类似结构的绝对值。

当两侧同时取 x 或 -x 时，即两侧同号，此时可以直接去掉。如果只有一端有绝对值，那么去掉后要加 ± 符号，或者是让常数C的范围由 C>0 变成任意常数。

这里任意常数项写作lnC，是因为这样后续可化为，ln |C1x|，若两侧取e为底的指数，则 |C1x|=右侧，从而去掉绝对值，引入任意常数项时，取值范围是C1>0，而此时 Cx=...，C为任意常数（包含了去掉绝对值的±符号）。

《一阶线性常微分方程通解公式的一个注记》：https://www.ixueshu.com/document/132ff91e51e406ae318947a18e7f9386.html

讨论了关于去掉绝对值时，怎样调整C。

4. 一阶线性微分方程的解的形式

这里是不定积分还是变限积分？

虽然符号写的是不定积分∫，但是这只是一个记号，它在此不表示一类积分，而表示一个积分。至于取哪一个，一般是取从0到x的变限积分。而不定积分是变限积分的基础上多了一个任意常数C的，具体关系及推导可见这篇文章。

《从几道重要例题看不定积分与变限定积分的关系》：http://www.doc88.com/p-29935820943.html

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