同济《高等数学》 |
您所在的位置:网站首页 › 微分方程特解通解区别 › 同济《高等数学》 |
目录 一. 微分方程的基本概念 二. 一阶微分方程 1. 变量可分离方程(初等积分法) 2. 齐次方程(变量代换法) 3. 线性方程 3.1 一阶线性齐次方程 3.2 一阶线性非齐次方程 三. 可降阶方程 四. 高阶线性微分方程 1. 线性微分方程解的结构 2. 常系数齐次线性微分方程 3. 常系数非齐次线性微分方程 五. 其他方程 1.伯努利方程(可化为线性方程的方程) 2.欧拉方程 3.全微分方程(恰当方程) 4.差分方程 微分方程是描述函数以及函数导数之间关系的方程,它的意义在于沟通了微积分和实际问题之间的桥梁。在本篇笔记中,重在梳理知识框架,比如:齐次方程、一阶微分方程、可降价的高阶微分方程、差分方程等等;也会针对易混淆的概念进行我的看法,比如:微分方程里出现的两个"齐次"有什么区别与联系?"线性"一词怎么理解?等。话不多说,进入正题! 一. 微分方程的基本概念1. 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程,叫做微分方程。 2. 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶。 比如: 3. 微分方程的解 设函数 4. 微分方程的通解 如果微分方程的解中含有任意常数,即 5. 微分方程的特解 满足某个初值条件的解叫做微分方程的特解。 6. 积分曲线与积分曲线族 微分方程的解 微分方程的通解 形如 解法:一般采用的初等积分法。 a) 若 两边同时求出积分结果即可,右边不要忘记加任意常数C。 若 【注】这种等于0的情况一定不要忘记考虑啦 2. 齐次方程(变量代换法)形如 解法:一般采用的变量代换法。 作变量代换,令 a)若 两边积分得 两边同时求出积分结果即可,右边不要忘记加任意常数C。 b) 若 形如 解法:可以采用分离变量法。 具体解法过程和可分离变量方程的解法类似,这里直接给出结论: ①.一阶线性齐次方程的通解: ②.满足初值条件 形如 解法:可以采用积分因子法或常数变易法。 关于积分因子法和常数变易法,步骤复杂,后面会专门出个专题来介绍,这里直接给出结论: ①.一阶线性非齐次方程的通解: ②.满足初值条件 类型1. 形如 【例1】求解微分方程 解: 类型2. 形如 令 【例2】(2000年,1)求解微分方程 解:令 化为变量可分离方程,两边积分,有 类型3. 形如 一般令 【例3】(2002年,2)给定初值条件 解:令 代入初值条件 代入初值条件 二阶齐次线性方程: 二阶非齐次线性方程: 定理1. 如果 就是齐次方程的通解。 简单说,齐次方程的通解等于两个齐次方程线性无关的特解的线性组合。 定理2. 如果 就是非齐次方程的通解。 简单说,非齐次方程的通解等于两个齐次方程线性无关的特解的线性组合+非齐次方程一个特解。 定理3. 如果 定理4. 如果 形如 同时我们把 设 1)若 2)若 3)若 【例4】(2013年,3 )求微分方程 解:写出特征方程为 解得 得 形如 给出两类常见的 ①. 解法通常为:先求解对应齐次方程的通解,接着设出非齐次的一个特解为 【注】这里的 ②. 解法通常为:先求解对应齐次方程的通解,接着设出非齐次的一个特解为 【例5】(1995年,3)求微分方程 解:a)求对应齐次方程的通解,特征方程为 b)设出非齐次方程的特解 形如 解法: 变量代换法和分离变量法 做变量代换 形如 解法:做变量代换 形如 解法:a)判断 b)求解 ①.偏积分 ②.凑微分 ③.线积分 4.差分方程一阶常系数线性齐次差分方程,形如 一阶常系数线性齐次非差分方程,形如 给出两类常见的 ①. a).若 b).若 ②. a).若 b).若 【例6】(1997年,3)求差分方程 解:a)求对应齐次方程的通解 b)设出非齐次方程的特解 本次分享就结束啦,如果有错误请指出喔,下篇笔记见! |
今日新闻 |
推荐新闻 |
CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3 |