如何通俗地解释欧拉公式(e^πi+1=0)? |
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欧拉公式,被誉为上帝公式, e、 i 、 pi 、乘法单位元1、加法单位元0,这五个重要的数学元素全部被包含在内,在数学爱好者眼里,仿佛一行诗道尽了数学的美好。 欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域,建立和三角函数和指数函数的关系,被誉为“数学中的天桥”。形式简单,结果惊人,欧拉本人都把这个公式刻在皇家科学院的大门上,看来必须好好推敲一番。 1 复数 在进入欧拉公式之前,我们先看一些重要的复数概念。 1.1 i的由来
可是,这是最不能让人接受的一次数系扩张,听它的名字就感觉它是“虚”的: 从自然数扩张到整数:增加的负数可以对应“欠债、减少” 从整数扩张到有理数:增加的分数可以对应“分割、部分” 从有理数扩张到实数:增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度 从实数扩张到复数:增加的虚数对应什么? 虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了(即复数开方运算之后得到的仍然是复数)。 看起来我们没有必要去理会 我们来看一下,一元二次方程 我们再看一下,一元三次方程 ,一元三次方程的解太复杂了,这里写不下,大家可以参考 维基百科 ,但愿大家能够打开。 我们讨论一下 其中: 判别式为 要想求解三次方程的根,就绕不开复数了吗?后来虽然发现可以在判别式为负的时候通过三角函数计算得到实根,但是在当时并不知道,所以开始思考复数到底是什么? 我们认为虚数可有可无,虚数却实力刷了存在感。虚数确实没有现实的对应物,只在形式上被定义,但又必不可少。数学界慢慢接受了复数的存在,并且成为重要的分支。 1.2 复平面上的单位圆 在复平面上画一个单位圆,单位圆上的点可以用三角函数来表示: 我们来看单位圆: 1.3 复平面上乘法的几何意义 同样来感受一下 2 欧拉公式 在进入欧拉公式之前, 对于 ----维基百科 欧拉公式在形式上很简单,是怎么发现的呢? 2.1 欧拉公式与泰勒公式 关于泰勒公式可以参看这篇详尽的科普文章: 如何通俗地解释泰勒公式? 。 欧拉最早是通过泰勒公式观察出欧拉公式的: 将 那欧拉公式怎么可以有一个直观的理解呢? 2.2 对同一个点不同的描述方式 我们可以把 2.3 为什么 定义e为 这是实数域上的定义,可以推广到复数域 我们来看看 从图上可以推出 再来看看 看来 来看看 2.4 2^i的几何含义是什么?
2.5 欧拉公式与三角函数 根据欧拉公式
。三角函数定义域被扩大到了复数域。 我们把复数当作向量来看待,复数的实部是x方向,虚部是y方向,很容易观察出其几何意义。 2.6 欧拉恒等式 当
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