壹

求同为依据的类化思维

在形式逻辑中, 分类是揭示概念外延的一种逻辑方法。分类, 一要有分类标准, 二要既不遗漏又不重复。比如对全体正整数, 按能否被2整除为标准可以分为奇数与偶数两大类; 按约数的个数可以划分为单位1 (1个正约数)、质数 (2个正约数)、合数 (正约数的个数 ≥ 3) 三类。对三角形的问题可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三类进行讨论; 对实数的问题有时按正数、负数与零三类进行研究; 有时按有理数与无理数两大类数进行分析。这些都是在中学数学中常见的类化思维的例子。分类方法在数学上的直接表现是集合的分划。研究复杂的数学物件, 往往把具有共同性质的部分分为一类, 形成数学上很有特色的思维方法 ———类化思维。

俗语说 “物以类聚, 人以群分”, 就体现了类化思维的道理。有人说, 不会正确分类就不可能学好数学, 这是非常有道理的。分类思想在中小学数学中非常有用。主要体现在分类讨论或分情况说理在求解数学问题中的应用。

贰

相对应的配对思维

原始人以狩猎、采摘野果为生。对获得的果实, 需要一定的记数方法, 比如, 打来一个猎物就存放一颗石子, 最后, 数一数堆放的石子的个数就可以知道猎物的总数。由于石子堆放容易散乱, 改成“结绳记数”就更为实用了。在人类的记数过程中, 逐渐形成了“一一对应”的配对思维。对应的概念在现代数学中扮演着重要的角色。

叁

运动为特点的函数思维

数学所研究的往往是运动变化着的量及其相互之间的关系, 而这主要是利用函数(或映射)来实现的。运用函数 (映射) 概念和性质来认识数学规律、解决数学问题的数学思维就是函数思维。函数思维的特点在于对数学物件与其性质之间一般的和个别的相互关系的动态认识。正如数学教育家克莱因所说: “一般受教育者在数学课上应该学会的重要的事情是用变量与函数来 思考。” 可见函数思维在数学思维中的重要地位。

肆

形状与方位的空间思维

在研究一些数学问题时, 常需要运用有关图形的知识和丰富的空间想象来解决。这种运用图形的知识和空间想象来认识数学规律, 解决数学问题的数学思维就是空间思维。空间思维的特点在于善于在头脑中构成研究物件的空间形状和简略的结构, 并能将对实物所进行的一些操作, 在头脑中进行相应的思考。空间思维不仅在学生学习几何时常要用到它, 而且“还可以让学生借助于某种图形, 来表达这样或那样的数学物件、操作以及这些物件间的关系, 这种图形具有各式各样的特点”。

伍

排序为手段的程序思维

在日常生活中, 一班新同学按个子高矮排成一队, 这实际是按身高排序。等公共汽车, 人们在站前排队, 很有秩序, 这是按到车站的先后次序来排队, 将无序的状态整理为有序, 在数学中, 任给两个有理数, 我们可以比较它们的大小。同样, 任给两个实数, 我们也可以比较它们的大小。这称为实数的有序性。因此, 给定 a1, a2, . . . , an 这 n 个实数, 我们一定可以按量值由小到大排成一列, 只要给出n个实数, 它们在量值大小上的序也就确定了。只是题目中没有明确指出。这时, 我们可以 “不妨设这n个实数就是 a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ an−1 ≤ an”, 将次序关系揭示出来, 会对解题造成很多便利条件, 会使分类讨论变得简洁, 条理清晰。例如, 三条线段 a, b, c 能够构成三角形三边的充分必要条件是:a < b + c b < c + a c < a + b 如果我们将线段 a, b, c 按长度大小排序为 c ≤ b ≤ a, 则线段 a, b, c 构成一个三角形三边的充分必要条件就可简化为 a < b + c。

陆

把握不变性的整体思维

整体与局部是对立统一的。一般情况下, 为了弄清整体, 常把整体分为有限个部分, 如果对每个部分都弄清楚了,就便于综合概括得出整体的性质,使问题得以解决。然而,有些问题有些时候,局部情况相当复杂,如果盲目进入局部探索, 往往会陷入五里雾中。此时,如果能从整体上把握方向,常会找到问题的简明解法。所谓整体思维就是从问题的整体性质出发,发现问题及整体的结构特性,从而导出局部结构和元素的特性。就好像进入林海中需要望北斗、看年轮(或带上指南针) 掌握方向一样,整体思维是帮我们解题的重要思维方式之一。

柒

考虑边值的极端思维

在你写出的n个实数中,其中必有一个最小的,也必有一个最大的。这是最简单的极端性思维。在宏观的估值中,比如,200人的单位义务捐款,已知每人至少捐50元, 那么200人捐款不少于50 × 200 = 10000 元。就是利用极端性思考。在推理证明中,极端性思维是非常有用的思维方法。

捌

建构可实现的构造思维

我们考察数学思维,就要考察数学思维的物件,过程与结果。数学概念是思维的基本材料,是数学大厦的砖瓦、沙石、木料,而关系、定理、公式是连接这些材料的粘合剂或构架。比如,一个集合A,我们通过取子集的方法可以构造出它的幂集, 这样一来,就产生了一个由包含与被包含的关系所引起的新的不寻常的结构。从两个集合A与B中取A的元素a和B的元素b, 组成元素对 (a, b), 所有这样的元素对的集合又产生出一种新的结构,记为 A × B,这就是集合A与B的笛卡儿积。人们完全可以设想,学习数学的过程也就是在头脑中产生和建构数学知识形成数学认知结构的过程。下面我们分析如何在思维中实现建构,从而认识数学结构的构 造性思维。数学思维就其过程来说,是将数学概念、公式、关系通过思维的组合联结为一个结构,综合为头脑中的一个新的思维创造物或想象物, 这个过程称之为数学思维中的构造。实现构造的具体操作叫做建构。

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