|
什么是特征值和特征向量
考虑一个
2×2
2
×
2
矩阵
(1324)
(
1
2
3
4
)
它如果和一个向量相乘的作用到底是什么
考虑：
对于二维空间内的一组正交基
(0,1)T
(
0
,
1
)
T
和
(1,0)T
(
1
,
0
)
T
(1324)(01)=(24)
(
1
2
3
4
)
(
0
1
)
=
(
2
4
)
(1324)(10)=(13)
(
1
2
3
4
)
(
1
0
)
=
(
1
3
)
对于二维空间内的任意向量
(x,y)
(
x
,
y
)
(1324)(xy)=(1∗x+2∗y3∗x+4∗y)
(
1
2
3
4
)
(
x
y
)
=
(
1
∗
x
+
2
∗
y
3
∗
x
+
4
∗
y
)
于是可以看到：
在一个
n
n
维向量xx的左边乘以一个相应的
n
n
阶矩阵AA的作用就是把原先的坐标轴进行一个线性变换（shear:就像是剪刀的动作一样），原先的
(0,1)T
(
0
,
1
)
T
和
(1,0)T
(
1
,
0
)
T
变成了
(2,4)T
(
2
,
4
)
T
和
(1,3)T
(
1
,
3
)
T
，对于任意的向量可以得到一个shear后的新的坐标。
一个矩阵的特征值和特征向量就是，在这个shear的过程中，该向量(特征向量)只进行长度（正向和反向）(特征值)的变换，而不会在
A
A
的作用下发生类似时钟指针的动作（只会正向和反向拉伸或压缩，但是不会旋转）。
于是乎：
对于公式 Ax=λx(1)(1)Ax=λx 就体现了刚刚的那段话 要得到这个
λ
λ
和
x
x
我们可以对
(1)
(
1
)
进行处理
(A−λE)x=0(2)
(2)
(
A
−
λ
E
)
x
=
0
如果让
(2)
(
2
)
有非零解，则有
det(A−λE)=0
det
(
A
−
λ
E
)
=
0
|