一致有界性原理的一个应用就是序列和算子的收敛性分析。

$(X,\Vert\cdot\Vert)$，有 $x_n,x\in X$，称 $x_n$ 强收敛到 $x$，若 $\Vert x_n-x\Vert \to 0$；称 $x_n$ 弱收敛到 $x$ 若 $\forall f\in X’$ 都有 $f(x_n)\to f(x)$，记为 $x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x.$

关于弱收敛有以下几条性质：

证明：仅证第二条。这个性质说明 $x_n$ 有界，因此容易想到需要用一致有界性原理证明，但是该原理说明的是算子的一致有界，这里是元素 $x_n$ 有界，因此又可以想到上一篇讲到的典范映射 $J:X\to X’’$ 从元素映射到算子。因此这里考虑 $X’$ 上的线性泛函 $g_n= J(x_n):X’\to \mathbb{R}$，有 $g_n(f)=f(x_n),\forall f\in X’.$ 于是有 $f(x_n)\to f(x)$，因而固定任一 $f$，都有 $\sup_n g_n(f) < \infty$，同时由于 $X’$ 总为 Banach 空间，利用一致有界性原理有 $\sup_n \Vert g_n\Vert =\sup_n \Vert x_n\Vert < \infty$。证毕。

定理：$(X,\Vert\cdot\Vert)$，有 $x_n,x\in X$，则 $x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x$ 当且仅当：

NOTE：该定理简化了弱收敛的判断条件，只需要在 $X’$ 的一个子集上判断函数值是否收敛。

证明：$”\Longrightarrow”$ 易证；

$”\Longleftarrow”$，首先考虑 $\forall f\in \text{span}M$，容易得到 $f(x_n)\to f(x)$。然后对 $\forall g\in X’$，那么存在 $f_m\in\text{span}M$ 使得 $\Vert f_m-g\Vert \le 1/m$，因此

证毕。

例子 1：考虑 $X=\ell^p(1