本文介绍如何使用数轴建模法对质量—弹簧—阻尼系统进行建模分析。

这里涉及的质量块、弹簧、阻尼均为理想器件。

注：实际弹簧还拥有阻尼器的效果，即实际弹簧应该是一个弹簧—阻尼系统。

在分析质量—弹簧—阻尼系统时，应该注意以下两点：

弹簧力方向与位移变化量的方向相反，阻尼力方向与速度变化量的方向相反；

分析哪个点时，就应该从哪边开始减，如下图所示。

若分析A点时，则阻尼器2对于A点的受力情况应为 b 2 ( x ˙ o − x ˙ ) b_2(\dot{x}_o-\dot{x}) b2​(x˙o​−x˙)

若分析B点时，则阻尼器2对于B点的受力情况应为 b 2 ( x ˙ − x ˙ o ) b_2(\dot{x}-\dot{x}_o) b2​(x˙−x˙o​)

可以发现，两种情况的阻尼力大小相同，但是方向应该不同。由于假设数轴正方向为竖直向下，故位移变化量的正方向也应该向下。 但是由于假设 x > x o x>x_o x>xo​，因此第一种情况的实际变化量方向应该向上，而第二种情况则向下。

从更直观的角度考虑以上情况，以分析A点为例，假设 x > x o x>x_o x>xo​。对于A点来说，相当于在阻尼器上端把阻尼器向上拉，那么受到的阻尼力方向应该向下。对于B点同理。

上图左图为一个弹簧—阻尼系统，右图为正方向定义为向下的数轴，用于辅助分析。对于弹簧—阻尼系统，通常会假设A点处存在一个质量块 m A m_A mA​，这样就可以进行受力分析。

弹簧：弹簧上端向下移动 x i x_i xi​，下端向下移动 x o x_o xo​，属于两端都有位移的情况。质量块 m A m_A mA​受到的弹簧力大小为 k ( x o − x i ) k(x_o-x_i) k(xo​−xi​) 方向为竖直向上。 弹簧力方向与位移方向相反。

注：由于假设 x o > x i x_o>x_i xo​>xi​，故位移变化量的方向为竖直向下。

阻尼器：阻尼器下端固定，上端向下移动 x o x_o xo​。质量块 m A m_A mA​受到的阻尼力大小为 b ( x ˙ o − 0 ) = b x ˙ o b(\dot{x}_o-0)=b\dot{x}_o b(x˙o​−0)=bx˙o​ 方向为竖直向上。 阻尼力方向与速度方向相反。

注：应该从A点所在端减去另一端，即应为 x ˙ o − 0 \dot{x}_o-0 x˙o​−0。

由此可以得到，该弹簧—阻尼系统的微分方程为 − k ( x o − x i ) − b x ˙ o = m A x ¨ o -k(x_o-x_i)-b\dot{x}_o=m_A\ddot{x}_o −k(xo​−xi​)−bx˙o​=mA​x¨o​ 由于A点处的质量可以忽略不计，故上式应为 − k ( x o − x i ) − b x ˙ o = 0 -k(x_o-x_i)-b\dot{x}_o=0 −k(xo​−xi​)−bx˙o​=0

上图左图为一个质量—弹簧—阻尼系统，右图为正方向定义为向右的数轴。

弹簧：弹簧左端向右移动 x i x_i xi​，右端向右移动 x o x_o xo​，属于两端都有位移的情况。质量块 m m m受到的弹簧力大小为 k ( x o − x i ) k(x_o-x_i) k(xo​−xi​) 方向为水平相左。 弹簧力方向与位移方向相反。

阻尼器：阻尼器左端固定，右端向右移动 x o x_o xo​。质量块 m m m受到的阻尼力大小为 b ( x ˙ o − 0 ) = b x ˙ o b(\dot{x}_o-0)=b\dot{x}_o b(x˙o​−0)=bx˙o​ 方向为水平向左。 阻尼力方向与速度方向相反。

由此可以得到，该弹簧—阻尼系统的微分方程为 − k ( x o − x i ) − b x ˙ o = m x ¨ o -k(x_o-x_i)-b\dot{x}_o=m\ddot{x}_o −k(xo​−xi​)−bx˙o​=mx¨o​

以上是一个弹簧—阻尼系统，分析方法与单自由度系统相同。假设A点、B点分别有质量块 m A , m B m_A,m_B mA​,mB​，并假设B处向下移动x。

从下往上分析。

1.对于B点

弹簧2：下端固定，上端向下移动 x x x，故弹簧力应为 k 2 x k_2x k2​x 方向竖直向上。

阻尼器2：下端移动 x x x，上端移动 x o x_o xo​，故阻尼力应为 b 2 ( x ˙ − x ˙ o ) b_2(\dot{x}-\dot{x}_o) b2​(x˙−x˙o​) 方向竖直向上。

由此可以得到，该弹簧—阻尼系统的微分方程为 − k 2 x − b 2 ( x ˙ − x ˙ o ) = m B x ¨ = 0 -k_2x-b_2(\dot{x}-\dot{x}_o)=m_B\ddot{x}=0 −k2​x−b2​(x˙−x˙o​)=mB​x¨=0 2.对于A点

弹簧1：上端向下移动 x i x_i xi​，下端向下移动 x o x_o xo​，故弹簧力应为 k 1 ( x o − x i ) k_1(x_o-x_i) k1​(xo​−xi​) 方向竖直向上。

阻尼器1：上端向下移动 x i x_i xi​，下端向下移动 x o x_o xo​，故阻尼力应为 b 1 ( x ˙ o − x ˙ i ) b_1(\dot{x}_o-\dot{x}_i) b1​(x˙o​−x˙i​) 方向竖直向上。

阻尼器2：下端移动 x x x，上端移动 x o x_o xo​，故阻尼力应为 b 2 ( x ˙ o − x ˙ ) b_2(\dot{x}_o-\dot{x}) b2​(x˙o​−x˙) 方向竖直向上。由于 x > x o x>x_o x>xo​，速度变化量方向为竖直向上，故实际受力方向应为竖直向下。

由此可以得到，该弹簧—阻尼系统的微分方程为 − k 1 ( x o − x i ) − b 1 ( x ˙ o − x ˙ i ) − b 2 ( x ˙ o − x ˙ ) = m A x ¨ = 0 -k_1(x_o-x_i)-b_1(\dot{x}_o-\dot{x}_i)-b_2(\dot{x}_o-\dot{x})=m_A\ddot{x}=0 −k1​(xo​−xi​)−b1​(x˙o​−x˙i​)−b2​(x˙o​−x˙)=mA​x¨=0

或者为 − k 1 ( x o − x i ) − b 1 ( x ˙ o − x ˙ i ) + b 2 ( x ˙ − x ˙ o ) = m A x ¨ = 0 -k_1(x_o-x_i)-b_1(\dot{x}_o-\dot{x}_i)+b_2(\dot{x}-\dot{x}_o)=m_A\ddot{x}=0 −k1​(xo​−xi​)−b1​(x˙o​−x˙i​)+b2​(x˙−x˙o​)=mA​x¨=0

参考资料：白艳艳,张晓俊.建立弹簧-质量-阻尼系统数学模型的数轴法[J].噪声与振动控制,2012,32(03):59-62.