弹簧的串联和并联 |
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弹簧的串联和并联
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弹簧的串联和并联
贡献者： 零穹; addis 预备知识 胡克定律
图 1：弹簧的串联（左）、并联（右）
两个劲度系数为 $k_1, k_2$ 的弹簧的串联后劲度系数为 $k$，那么 \begin{equation} \frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \quad \text{或} \qquad k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}~. \end{equation} 若并联后劲度系数为 $k$，那么 \begin{equation} k = k_1 + k_2~. \end{equation} 可见弹簧的串联和并联分别类似于电阻的并联和串联。类似地多个弹簧串联或并联有 \begin{equation} \frac{1}{k} = \sum_i \frac{1}{k_i}~, \end{equation} \begin{equation} k = \sum_i k_i~. \end{equation} 1. 推导 弹簧的串联先考虑两弹簧串联的情况， 如图 1 左，对于弹簧的串联，设弹簧系统两边受力 $F$ 达到平衡。对弹簧 $1$ 受力分析，由平衡条件，其受弹簧 $2$ 的力大小 $F_1$ 等于外力 $F$，由牛顿第三定律，弹簧 $2$ 受弹簧 $1$ 作用力大小 $F_2$ 也为 $F$。即 \begin{equation} F_1=F_2=F~. \end{equation} 由胡克定律 $F=-k\Delta x$，上式可写为 \begin{equation} k_1\Delta x_1=k_2\Delta x_2=-F~. \end{equation} 那么对于弹簧系统，其劲度系数 $k$ 为 \begin{equation} k=\frac{-F}{\Delta x}=\frac{-F}{\Delta x_1+\Delta x_2}=\frac{-F}{\frac{-F}{k_1}+\frac{-F}{k_2}}=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}~, \end{equation} 或者 \begin{equation} \frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}~. \end{equation}现在，我们用数学归纳法推导 $n(n\in \mathbb N)$ 个弹簧的串联公式式 3 。 1）对于 $n=2$ 的情形，已由上面所证明； 2）假设对任意给定的 $n=l$，式 3 成立，那么对 $n=l+1$ 情形，可看成前 $l$ 个弹簧串联的弹簧系统（劲度系数 $k_l$）与第 $l+1$ 个弹簧（劲度系数 $ k_{l+1}$）串联的情形。即对于 $n=l+1$ 个弹簧串联的系统，其劲度系数 $k$ 满足 \begin{equation} \frac{1}{k}=\frac{1}{k_l}+\frac{1}{k_{l+1}}~. \end{equation}由假设 \begin{equation} \frac{1}{k_l}=\sum\limits_{i=1}^{l}\frac{1}{k_i}~, \end{equation} 代入式 9 ，得 \begin{equation} \frac{1}{k_l}=\sum\limits_{i=1}^{l+1}\frac{1}{k_i}~. \end{equation}由数学归纳法原理，式 3 成立 弹簧的并联同样，先考虑两弹簧并联的情况， 如图 1 右，对于弹簧的并联，设弹簧系统两边受力 $F$ 达到平衡。设弹簧 1 和弹簧 2 受力分别为 $F_1$ 和 $F_2$，对整个系统受力分析，由平衡条件 \begin{equation} F_1+F_2=F~, \end{equation} 而对并联情形，明显有整个系统伸长量 $\Delta x$、两弹簧伸长量 $\Delta x_1$ 和 $\Delta x_2$ 三者相同 \begin{equation} \Delta x=\Delta x_1=\Delta x_2~. \end{equation} 由胡克定律 $F=-k\Delta x$，式 16 可写为 \begin{equation} k_1\Delta x_1+k_2\Delta x_2=k\Delta x~. \end{equation} 式 13 代入式 14 ，得整个弹簧系统劲度系数 $k$ \begin{equation} k=k_1+k_2~. \end{equation}与弹簧串联中证明完全类似，我们得到 $n$ 个弹簧并联时的公式式 4 2. 弹簧的切割如果把一根均匀弹簧切割成原长的 $\lambda$（$\lambda \begin{equation} k' = \frac{k}{\lambda}~. \end{equation}证明：我们可以把弹簧原长分割成 $n$ 等分，由于弹簧是均匀的，每份的劲度系数都为 $k_0$，那么根据式 3 有 \begin{equation} k_0 = nk~, \end{equation} 然后再把其中连续的 $m$（$m \begin{equation} k' = \frac{n}{m}k~. \end{equation} 由于以上的 $m, n$ 可以任取，我们可以使 $m/n \to x$（当 $x$ 是有理数时取等号）。所以有式 16 。 例 1一根弹性绳劲度系数为 $k$，固定在水平相距为 $L$ 的两点之间，绳子原长远小于 $L$。在距离绳一端 $x$ 处固定一个质点，质点受重力下沉后使其平衡静止，求下沉的深度 $h$。 
图 2：受力分析
假设质点左边部分的原长占总原长的比例为 $\lambda$，右边部分的原长占 $1-\lambda$，则有 \begin{equation} \left\{\begin{aligned} &\frac{k_1}{k_2} = \frac{1-\lambda}{\lambda}\\ &\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}~. \end{aligned}\right. \end{equation} 根据式 16 \begin{equation} k_1 = \frac{k}{\lambda} ~,\qquad k_2 = \frac{k}{1-\lambda}~. \end{equation} 受力分析 \begin{equation} \left\{\begin{aligned} &T_1\sin\theta_1 + T_2\sin\theta_2 = mg\\ &T_1\cos\theta_1 = T_2\cos\theta_2~, \end{aligned}\right. \end{equation} 其中 \begin{equation} \tan\theta_1 = \frac{h}{x}~, \qquad \tan\theta_2 = \frac{h}{L-x}~, \end{equation} \begin{equation} T_1 = \frac{x}{\cos\theta_1} k_1 ~,\qquad T_2 = \frac{L-x}{\cos\theta_2} k_2~. \end{equation} 解得 \begin{equation} h = \frac{mg}{Lk \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{L-x} \right) }~. \end{equation}
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