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图：调节一下，学习这么累

  机动目标跟踪一直是目标跟踪领域研究的难点和重点问题。建立目标运动模型和滤波算法是目标跟踪的两个重要因素。由于目标的机动具有不可预测性，使得我们很难建立精确的目标运动模型。如何建立一种有效的模型来反映目标真实的运动轨迹是高机动目标跟踪系统急需解决的问题。经过近三十年的研究，该领域取得了许多重要成果。

个人理解：机动目标跟踪拥有三要素：

被跟踪目标建模（本博客重点讲：当前统计模型） 传感器测量（另一个博客介绍） 滤波器设计（见目标跟踪专栏）

  从算法层面，在目标跟踪系统中，常用的滤波算法是以卡尔曼滤波器为基本框架的估计算法。卡尔曼滤波器是一种线性、无偏、以误差均方差最小为准则的最优估计算法，它有精确的数学形式和优良的使用效能。卡尔曼滤波方法实质上是一种数据处理方法，它采用递推滤波方法，根据获取的量测数据由递推方程递推给出新的状态估计。由于计算量和存储量小，比较容易满足实时计算的要求，在工程实践中得到广泛应用。   除此之外，非线性滤波也广泛应用与机动目标跟踪，比如：

扩展卡尔曼滤波EKF 无迹卡尔曼滤波UKF 容积卡尔曼滤波CKF 求积卡尔曼滤波QKF 中心差分卡尔曼滤波CDKF Divided difference filter DDF 高斯混合滤波GSF 强跟踪滤波STF 粒子滤波PF … …

  机动目标模型描述了目标状态随着时间变化的过程。一个好的模型抵得上大量的数据。当前几乎所有的目标跟踪算法都是基于模型进行状态估计的。在卡尔曼滤波器被引入目标跟踪领域后，基于状态空间的机动目标建模成为主要研究对象之一。

常用的目标运动模型包括：

1. 匀速运动CV模型， 链接：https://zhangdonglin.blog.csdn.net/article/details/124123556 2. 匀加速运动CA模型， 链接：https://zhangdonglin.blog.csdn.net/article/details/124126179 3. 匀速转弯CT模型， 链接：https://zhangdonglin.blog.csdn.net/article/details/124461832 4. Singer 模型， 链接：https://zhangdonglin.blog.csdn.net/article/details/124132379 5. “当前”统计模型，本博客主要讲 6. Jerk 模型， 链接：https://zhangdonglin.blog.csdn.net/article/details/124135916 7. 其它扩展模型

从目标模型所在坐标系维数及是否存在坐标耦合区分：

1. 目标的空间运动基于不同的运动轨迹和坐标系 一维运动 二维运动 三维运动

2. 根据不同方向的运动是否相关 坐标间不耦合模型 坐标间耦合模型

“当前”统计模型是由周宏仁于年提出来的。从本质上讲，该算法模型是一个具有非零均值的加速度的模型。该算法认为当目标正以某一加速度机动时，下一刻的加速度取值是有限的，且只能在“当前”加速度的邻域内。其机动加速度的“当前”统计概率密度采用修正瑞利分布来描述，均值为“当前”加速度的预测值。

Singer 模型所描述的目标的机动建立在两条假设条件之下，即加速度是零均值的 和加速度的概率密度函数是服从均匀分布的。

“当前”统计模型(Current Statistical Model)是针对 Singer 的这两条假设条件提出的修正模型，使其更符合实际的情况，即认为目标在当前时刻以某一加速度机动时，利用机动的当前统计特性可知下一时刻的加速度的取值不是随机的，而是在有限范围内即“当前”加速度的邻域内。

通过这样模型就建立新的两条假设之下，即加速度非零均值且其概率密度服从修正的瑞利分布，实际滤波时用当前时刻的状态估计的预测加速度去代替加速度的均值。

其加速度符合非零均值一阶时间相关马尔科夫过程，即

x ¨ ( t ) = a ˉ ( t ) + a ( t ) a ˙ ( t ) = − α a ( t ) + w ( t ) (1) \ddot{x}(t)=\bar{a}(t) + a(t)\\ \dot{a}(t)=-\alpha a(t) + w(t) \tag{1} x¨(t)=aˉ(t)+a(t)a˙(t)=−αa(t)+w(t)(1)

其中 a ˉ ( t ) \bar{a}(t) aˉ(t) 为加速度均值， a ( t ) a(t) a(t)为零均值的有色噪声， w ( t ) w(t) w(t) 是均值为 0，方差为 2 α σ 2 2\alpha\sigma^2 2ασ2的高斯白噪声。

图：空地协同跟踪

由于“当前”统计模型(Current Statistical Model)是针对 Singer 的这两条假设条件提出的修正模型，

因此 “当前”统计模型的状态方程与 Singer 模型类似，可表示为：

令状态向量为 X = [ x , x ˙ , x ¨ ] T {X}=[x, \dot{x},\ddot{x}]^T X=[x,x˙,x¨]T 则加速度为 a ( t ) = x ¨ ( t ) a(t)=\ddot{x}(t) a(t)=x¨(t) 连续时间Singer模型为 X ˙ ( t ) = [ 0 1 0 0 0 1 0 0 − α ] X ( t ) + [ 0 0 α ] a ˉ ( t ) + [ 0 0 1 ] w ( t ) \dot{X}(t)=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&-\alpha\end{bmatrix}X(t) + \begin{bmatrix}0\\0\\\alpha\end{bmatrix}\bar{a}(t) + \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}w(t) X˙(t)=⎣⎡​000​100​01−α​⎦⎤​X(t)+⎣⎡​00α​⎦⎤​aˉ(t)+⎣⎡​001​⎦⎤​w(t)

Singer模型也可以表述为 X ˙ ( t ) = A X ( t ) + B u a ˉ ( t ) + B w ( t ) \dot{X}(t)=AX(t) + B_u\bar{a}(t) + Bw(t) X˙(t)=AX(t)+Bu​aˉ(t)+Bw(t) 其中 A = [ 0 1 0 0 0 1 0 0 − α ] , B u = [ 0 0 α ] , B = [ 0 0 1 ] A=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&-\alpha\end{bmatrix}, B_u=\begin{bmatrix}0\\0\\\alpha\end{bmatrix}, B= \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} A=⎣⎡​000​100​01−α​⎦⎤​,Bu​=⎣⎡​00α​⎦⎤​,B=⎣⎡​001​⎦⎤​

周期T采样离散化后，转化为离散时间状态方程为：

X k + 1 = F k X k + G k a ˉ k + W k (2) X_{k+1}=F_kX_{k} +G_k\bar{a}_k + W_k \tag{2} Xk+1​=Fk​Xk​+Gk​aˉk​+Wk​(2) 其中 F k = [ 1 T ( α T − 1 + e − α T ) / α 2 0 1 ( 1 − e − α T ) / α 0 0 − e − α T ] F_k=\begin{bmatrix}1&T&(\alpha T-1+e^{-\alpha T})/\alpha^2\\0&1&(1-e^{-\alpha T})/\alpha\\0&0&-e^{-\alpha T}\end{bmatrix} Fk​=⎣⎡​100​T10​(αT−1+e−αT)/α2(1−e−αT)/α−e−αT​⎦⎤​ G k = [ ( − T + α T 2 2 + 1 − e − α T α ) / α T − ( 1 − e − α T ) / α 1 − e − α T ] G_k=\begin{bmatrix}(-T+\frac{\alpha T^2}{2} + \frac{1-e^{-\alpha T}}{\alpha})/\alpha\\ T - (1-e^{-\alpha T})/\alpha\\ 1-e^{-\alpha T}\end{bmatrix} Gk​=⎣⎡​(−T+2αT2​+α1−e−αT​)/αT−(1−e−αT)/α1−e−αT​⎦⎤​

a ˉ k \bar{a}_k aˉk​可用当前时刻的状态估计中的预测加速度来替代： a ˉ k = x ¨ ^ k ∣ k − 1 \bar{a}_k=\hat{\ddot{x}}_{k|k-1} aˉk​=x¨^k∣k−1​

噪声 W k W_k Wk​的方差为 Q = 2 α σ 2 [ q 11 q 12 q 13 q 21 q 22 q 23 q 31 q 32 q 33 ] Q=2\alpha \sigma^2 \begin{bmatrix}q_{11}&q_{12}&q_{13}\\q_{21}&q_{22}&q_{23}\\q_{31}&q_{32}&q_{33}\end{bmatrix} Q=2ασ2⎣⎡​q11​q21​q31​​q12​q22​q32​​q13​q23​q33​​⎦⎤​ Q Q Q为对称矩阵 其中但 σ 2 \sigma^2 σ2为：

σ 2 = { 4 − π π [ a m a x − a ˉ k ] 2 , a ˉ k ≥ 0 4 − π π [ a m a x + a ˉ k ] 2 , a ˉ k < 0 (3) \sigma^2= \begin{cases}\frac{4-\pi}{\pi} [a_{max}-\bar{a}_k]^2, \bar{a}_k\geq0 \\ \frac{4-\pi}{\pi} [a_{max}+\bar{a}_k]^2, \bar{a}_k