聚变能是一种核能形式，它的主要应用方式是通过大型基本负荷发电站进行电力供应。和其它能量供应方式相比，聚变能在燃料蕴藏量、环境影响和安全性都有很大的优势。聚变反应主要是通过氘核(D)和氚核(T)发生反应产生α粒子和中子，并释放能量，我们称之为DT反应。在自然界中选取这两种很轻的元素进行聚变反应和元素的结合能有关。从微观角度看，氘核和氚核之间的碰撞引起核聚变，该过程和(反应)截面、平均自由程、碰撞频率、碰撞时间和反应速度等概念有关磁约束聚变反应堆通过磁场把热等离子体约束到一个环形的三维区域（拓扑结构等价于轮胎内部）中。和等离子体最接近的一层称为“第一壁”，磁场的约束确保热等离子体和第一壁不接触。第一壁的外层是包层（Blanket I,Blanket II），它是进行能量转换的地方。围绕包层是屏蔽层(HT shield)，用来保护磁体和工厂免受中子和γ射线的辐射。最后，在屏蔽层 的外面安装的是生产磁场的线圈(coil)。聚变反应堆的一个截面如图1所示。 包层和屏蔽层(Shield)的结构如图2所示。包层包括中子倍增区(Neutron multiplier)、中子 慢化区(Moderator)和燃料倍增区(Breeder)。紧临第一壁(First wall)的是中子倍增区，它被用来产生中子以补充包层内各种不可避免的中子损失，例如，在冷却管道(Cooling tubes)中冷却液和结构材料等的吸收引起的损失。聚变产生的14.1 MeV中子穿过相对较薄的中子倍增区剂区，其中部分中子将通过倍增反应产生两个新的中子。在往外的是中子慢化区。慢化剂将快中子慢化为热中子，使它们可以很容易地被6Li俘获。有多种锂化物可作为慢化剂，它们依包层的具体要求可分为固态、液体金属或熔岩。燃料增殖区也称氚增殖区，其中的反应参考附件。包层本身由屏蔽层包裹着，屏蔽层的作用是吸收逃离出包层的中子以及由次级核反应产生的γ射线。这种吸收层必须做到基本上彻底，因为屏蔽层外面运行在5K 到10 K温度下的超导线圈，通常采用低温冷却系统，磁体的可承受的热负荷很小。嵌入包层的是一套冷却管道。冷却剂可以是液体或气体，它的作用就是带走高温粒子慢化放出的聚变产生的热量。聚变能正是由此通过适当的热转换系统最终转化为电能。这是聚变发电反应堆的一个主要目标。 为了简化讨论，各层都简化为环形结构，截面如图3所示。中间的线表示轮胎的旋转中心对称轴，过对称轴做一个截面就是图3。a、b和c分别是等离子体的小半径、包层/屏蔽层的厚度和磁体的厚度。R0为截面中心到对称轴的距离，称为大半径。 在设计反应堆时，需要考虑四个工程约束和三个核物理约束，这些约束直接影响到反应堆 的设计。四个工程约束介绍如下。首先，典型的大型电站产出的电力大约1000 MW，我们的反应堆按该值进行设计，记PE =1000 MW。其次，第一壁的壁负载存在极限。为了不对壁材料造成不可接收的损伤，通过第一壁的单位面积功率存在安全上限。壁负荷的主要来源是通过第一壁的En = 14.1 MeV的中子。它们以角度均匀的功率分布沉积在四周。这种中子通量能导致各种辐射引起第一壁材料的损伤，包括溅射、脆化等。现有材料的研究表明，负载极限可取为1∼6 MWm2。我们取单位面积的壁负载为PW = 4 MW/m2。工程的第三个约束是超导磁体的电性能。为使得磁体保持其超导性，它的温度T、电流密度J以及磁场B必须满足约束条件；否者，超导磁体恢复到超导性能相对较低的状态。我们取最大磁场为Bmax = 13 T。第四个工程约束也与磁场有关。强场磁体会因自生磁压产生巨大的力。如果没有足够牢固的结构支撑系统，这种磁力可以令磁体完全解体。强场超导磁体的规模和成本受到结构支持系统的制约。因此磁体设计的关键参数取决于支持结构（通常是不锈钢）的最大允许应力。取最大允许平均应力为σmax =300 MPa。三个核物理约束介绍如下。第一个制约因素是DT聚变反应截面的大小。由于反应截面与每秒发生的聚变反应数目有关，因此它最终决定了给定体积所需的等离子体压强。比如，在温度T = 15 keV 时，反应截面约束为h σvi = 3 × 10−22m3/s。第二个核物理约束因素与包层有关。通过锂-中子反应来获得好的氚增殖，要求将En = 14.1 Mev 中子减速至慢速度，即它变为Et = 0.025 eV热中子。这个通过包层的锂材料与中子慢化材料相结合实现的。慢化材料中慢化中子的平均自由程是一个关键参数，它在很大程度上决定了包层的厚度。我们取慢化截面为σsd = 1 b(靶恩)。 第三个核物理约束也和包层有关。中子一旦被慢化材料慢化，就很容易被6Li 捕获来增殖氚，捕获截面称为第三个约束。Et = 0.025 eV热中子的氚增殖截面为σbr = 950 b(靶恩)。

在核聚变反应堆中，慢化区和增殖区的温度和中子通量变化是设计和运行的关键因素。为了分析这些区域的温度和中子通量变化，并确定它们的厚度 bbb，我们需要从中子的能量转移、散射、吸收和产氚反应等多个方面进行建模。

中子能量转移与慢化过程 慢化区的主要功能是将快中子减速为热中子，这个过程通过一系列的散射事件实现。中子在散射过程中与慢化剂的原子核碰撞，逐步失去能量。描述中子能量转移的主要公式如下： 1.1 中子的能量损失公式 中子在每次散射过程中能量损失的平均值为：

其中， A为慢化剂原子核的质量数， En为中子的初始能量。慢化过程中中子的平均自由程为：

其中， n是慢化剂的原子密度， σ是中子的散射截面。 1.2 慢化时间 慢化时间τ为中子从快中子能量减速到热中子能量所需的时间，可以表示为：

中子通量变化 中子通量 Φ是描述中子数量在单位面积上通过的流量。它的变化与中子的散射和吸收过程有关。通过对中子输运方程进行求解，可以得到中子通量的分布。 2.1 中子输运方程 中子输运方程描述了中子在反应堆中的行为：

其中， J为中子流， Σa为中子的吸收截面， S为中子源项。稳态条件下的中子输运方程为：

2.2 中子流和扩散方程 中子流J 与中子通量 Φ之间的关系通过菲克定律给出：

增殖区氚的生成 增殖区的主要功能是通过中子与锂-6的反应生成氚。主要反应公式为：

3.1 反应率 反应率R可以表示为：

其中， Σf为反应截面密度， Φ为中子通量。 3.2 氚的生成率 氚的生成率为：

温度分布 温度分布可以通过能量平衡方程来确定。假设系统达到稳态，热传导方程为：

其中， k为导热系数， Q为体积热源项。对于核聚变反应堆， Q主要来源于中子反应释放的能量。

厚度的确定

厚度 b的确定需要满足两个条件：

中子减速的要求：需要足够的厚度确保中子能减速到热中子能量。

氚生成的效率：需要足够的厚度确保中子能与锂-6充分反应生成氚。

5.1 中子减速条件

假设慢化区的厚度为 bs，那么：

其中， N为中子平均碰撞次数。

5.2 氚生成条件

假设增殖区的厚度为 bb，那么：

问题二：建造核反应堆的总资金成本包括两方面：固定成本KF和核岛成本KI。固定成本是指与能源种类(如聚变、裂变、化石燃料等)无关的基本相同部分。这些成本包括涡轮机组、发电机组、建设设施等。核岛成本是指与核聚变装置直接相关的成本，它们主要由包层-屏蔽和磁体这样的大的工件的建设成本决定。假设固定成本与电力输出PE成正比，核反应堆的设计的目的是极小化单位电力输出需要的总资金。针对上述的工程约束和核物理约束，如何确定核反应堆的尺寸(a, b, c, R0)使得该目标函数达到最小。（完整代码结果见文末附件！）

我们需要确定核反应堆的尺寸参数 a、b、c 和 R0，使得单位电力输出的总资金成本最小化。总资金成本包括固定成本KF 和核岛成本 KI。我们假设固定成本与电力输出 PEP_EPE​ 成正比，且核岛成本主要由包层-屏蔽和磁体的建设成本决定。

确定成本函数 1.1 固定成本 KF 固定成本 KF与电力输 PE成正比：

其中，kF为与固定成本相关的比例常数。 1.2 核岛成本 KI​ 核岛成本KI由包层-屏蔽成本和磁体成本组成。假设包层-屏蔽成本 CB和磁体成本 CM分别与它们的体积成正比：

其中，kB和kM分别为与包层-屏蔽和磁体相关的成本常数，VB 和 VM分别为包层-屏蔽和磁体的体积。

体积计算 2.1 包层-屏蔽体积VB 假设包层-屏蔽是一个环形结构，其体积为：

其中，R0为反应堆的中心到对称轴的距离，a为等离子体的小半径，b为包层-屏蔽层的厚度。 2.2 磁体体积 VMV 假设磁体是一个环形结构，其体积为：

其中，c为磁体的厚度。

总资金成本函数 总资金成本包括固定成本和核岛成本：

将体积表达式代入：

单位电力输出成本最小化 目标是最小化单位电力输出的总资金成本：

工程约束和核物理约束 根据问题背景中的工程约束和核物理约束，需考虑以下条件： 5.1 第一壁的壁负载极限 单位面积的壁负载极限为 PW，总壁负载应满足：

5.2 超导磁体的最大磁场 最大磁场Bmax：

其中，μ0\mu_0μ0​ 为真空磁导率，III 为线圈电流。 5.3 超导磁体的最大应力 最大允许平均应力为 σmax：

其中，F为磁体产生的力，A为磁体的横截面积。

数学优化模型

结合以上公式，构建优化模型如下：

条件：