范数(norm)是一个类似“长度”概念的函数

范数的严格定义如下：

若X是数域上的线性空间，泛函 ∣∣⋅∣∣→R 满足： (1)正定性： ∥x∥≥0 ，且 ∥x∥=0⇔x=0 ； (2)正齐次性： ∥cx∥=|c|∥x∥ ； (3)次可加性（三角不等式）： ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥ 。 那么， ∥⋅∥ 称为X上的一个范数。

p-范数是范数的一种，是比较常用的一类距离的度量方法。 需要注意的是，矩阵的p-范数与向量的p-范数是不同的

从p-norm可以推导出一些常用的范数(norm) - 0-norm ∣∣X∣∣0=N ，也就是向量的维度 - 1-norm ∣∣X∣∣1=(∑i=1N∣xi∣) ，也就是X的各个元素绝对值之和 - 2-norm ∣∣x∣∣2=(∑i=1N∣xi∣2)1/2 ，我们常见的Euclidean范数，或Frobenius范数 - ∞ -norm , p-norm中的p求极限，结果是X各个元素绝对值中的中的最大值 ∣∣x∣∣∞=max∣xi∣ - −∞ -norm ,p-norm中的p求极限，结果是X各个元素绝对值中的最小值 ∣∣x∣∣−∞=min∣xi∣

测度是定义在 X∗X 上的函数，记为 d(x,y) 其中 x,y∈X ,并且满足: 1. d(x,x)=0 2. x≠y 时， d(x,y)>0 3. d(x,y)=d(y,x) 4. d(x,y)≤d(x,y)+d(y,z) (三角不等式)

如果X是 F 上的一个向量空间， translation invariant(平移不变量): 测度函数附加条件： ∀z∈X,d(x,y)=d(x+z)+d(y+z)

齐次性 测度函数附加条件 ∀a∈F,d(ax,ay)=∣a∣d(x,y)

对任意点集X，定义一个测度 (X,d) 是一个测度空间

如果 d(x,y) 是一个测度，那么： 1. λ>0,d′(x,y)=λd(x,y) 也是一个测度 2. d′(x,y)=d(x,y)1+d(x,y) 也是一个测度

在集合X上可以定义很多种测度，其中一些测度 d1,d2 有些相似性。 例如，对于物理距离来说，单位为米或千米，虽然数值不一样，但有很大的相似性，引入测度定价这一概念。

Lipschiz equvalent（李普希斯等价） 定义： 测度空间X上两个测度 d1,d2 李普希斯等价，如果存在正实数 λ1,λ2 ，使得 ∀x,y∈X ,有： λ1d1(x,y)≤d2(x,y)≤λ2d1(x,y)

测度的等价，是数学意义上的等价（反身性，对称性，传递性）

定理 ： Rn 上的各种 lp 范数都是Lipschiz等价的

可以在测度上可以定义收敛性 d(xn,y)→0

有一个测度 (X,d1) ，定义测度球为

p取不同值的时候，画出的图很有意思 P>1时，测度球是一个凸集

(topologically equivalent) 空间X上有两种测度 d1,d2 ， 如果 ∃r1,r2∈R ,两者都是r,x的函数， 使得 Bd1r1⊂Bd2r⊂Bd1r2 那么 d1,d2 也是拓扑等价的

命题 如果 d1,d2 是Lipschiz 等价的，那么也是拓扑等价的。 反之未必，因为拓扑等价中的 r1,r2 ，可以是x的函数，而Lipschiz等价必须是固定的值

闵可夫斯基距离(Minkowski Distance) 欧氏距离(Euclidean Distance) 曼哈顿距离(Manhattan Distance) 切比雪夫距离(Chebyshev Distance) 余弦夹角(Cosine) 汉明距离(Hamming Distance) 杰拉德距离(Jaccard Similarity Coefficient)

两个n维变量 A=(a1,a2,...,an),B=(b1,b2,...bn) d= ∣∣A−B∣∣p ,就是向量的p-norm

欧式距离 是我们最易于理解的一种距离

曼哈顿距离 想象从在曼哈顿市区的一个地方到另一个地方，只能走南北或东西的道路，那么所走的实际距离就是曼哈顿距离

代码实现：

几何上夹角的余弦，特点是与量无关，与方向有关，机器学习也有用途。

cosθ=AB∣A∣∣B∣

numpy中没找到直接能实现的函数，所以这么做：

定义： 两个等长度字符串s1和s2之间的汉明距离，定义为s1变成s2所需要的最小替换次数。例如1111,1001的汉明距离为2 用途： 信息编码，为了增强容错性，所用编码的最小汉明距离要尽可能大 代码实现：

杰卡德相似系数，定义为两个集合的交集在并集中所占比例

杰卡德距离是一个类似的概念 Jδ(A,B)=1−J(A,B)

Python实现：

上面给出了一些计算的代码，除此之外，还可以用scipy