不同平面直角坐标系之间的转换公式的推导及C#代码实现 |
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不同平面直角坐标系之间的转换公式的推导及C#代码实现
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本篇讨论的主题是在平面坐标系中如何将一个坐标系（目标坐标系，以下简称目标系）中的所有点投射到另一个坐标系（基坐标系）中。平面坐标系之间的转化一般有三步操作：1、平移；2、旋转；3、拉伸。 在转化的过程中需要的几个已知条件分别是：1、目标系的一个已知点（特征点A）对应于基坐标系中的点（特征点A’）。2、目标系的原点（O）对应于基坐标系中的原点（O'）。3、基座标系的原点（O‘’）。 一、坐标系拉伸 ①、计算两坐标系X和Y轴分别对应的拉伸比例：
②、将A点按缩放比例映射到基坐标系中（A''）：
二、坐标系旋转和平移 ①：坐标系旋转
②坐标系平移加旋转
③得出公式 根据坐标系旋转和平移的规则，可以得出公式 我们的目标是求出θ。 设m = cos(θ),n=sin(θ)，根据已知量可得出公式：
得出方程组的增广矩阵，根据高斯消除元法即可求得m,n：
再根据反三角函数求得θ，此时θ、a、b、T(坐标系倍数)的值都已经得到。 故任意目标系坐标（x、y）可通过公式映射到基坐标系(f(x)、f(y))： C#代码： public class CoorPoint { public double x { get; set; } public double y { get; set; } public CoorPoint() { } public CoorPoint(double x, double y) { this.x = x; this.y = y; } public CoorPoint(CoorPoint pt) { this.x = pt.x; this.y = pt.y; } public static CoorPoint operator +(CoorPoint src, CoorPoint tar) { CoorPoint result = new CoorPoint(src); result.x += tar.x; result.y += tar.y; return result; } public static CoorPoint operator -(CoorPoint src, CoorPoint tar) { CoorPoint result = new CoorPoint(src); result.x -= tar.x; result.y -= tar.y; return result; } public static CoorPoint operator /(CoorPoint src, CoorPoint tar) { CoorPoint result = new CoorPoint(src); result.x /= tar.x; result.y /= tar.y; return result; } public static CoorPoint operator *(CoorPoint src, CoorPoint tar) { CoorPoint result = new CoorPoint(src); result.x *= tar.x; result.y *= tar.y; return result; } } class CoordinateSystemChg { /// /// 基坐标系:特征点(A') /// public CoorPoint baseCoor_basePoint { get; set; } /// /// 基坐标系:原点(O) /// public CoorPoint baseCoor_originPoint { get; set; } /// /// 现实坐标系:特征点(A) /// public CoorPoint realistic_basePoint { get; set; } /// /// 现实坐标系对应基坐标系拉伸后的点(A'') /// public CoorPoint realistic_basePointAfterZoom { get; set; } /// /// 现实坐标系:原点(O) /// public CoorPoint realistic_originPoint { get; set; } /// /// 现实坐标系对应基坐标系:原点(O') /// public CoorPoint realistic_originAsBaseCoorPoint { get; set; } //定义原点时 已经统一缩放比例 //第一步的结果 //位移量：a(x轴),b(y轴) double a = 0; double b = 0; //坐标系倍数 CoorPoint coorTimes; //坐标系夹角 double offsetAngle; //第一步:得到坐标系之间的角度θ /// /// 计算出两坐标系的X,Y比例 /// public void GetSale() { coorTimes = (realistic_basePoint - realistic_originPoint) / (baseCoor_basePoint - realistic_originAsBaseCoorPoint); if (coorTimes.x < 0) coorTimes.x = -coorTimes.x; if (coorTimes.y < 0) coorTimes.y = -coorTimes.y; } /// /// ①按比例缩放（实际坐标系的基点），使之与基坐标系统一 /// public void DoZoom() { realistic_basePointAfterZoom = realistic_basePoint / coorTimes; } /// /// ②得到偏移角，入参实际坐标系原点坐标在基坐标系上的坐标 /// public void GetOffsetAngle() { double[] x = new double[2]; a = (realistic_originAsBaseCoorPoint.x - baseCoor_originPoint.x); b = (realistic_originAsBaseCoorPoint.y - baseCoor_originPoint.y); double[,] g = { { realistic_basePointAfterZoom.x, realistic_basePointAfterZoom.y, (baseCoor_basePoint.x - a) }, { realistic_basePointAfterZoom.y, -realistic_basePointAfterZoom.x, (baseCoor_basePoint.y - b) } }; GaussianElimination(g, x); // x[0]:θ角的余弦值；x[1]:θ角的正弦值 offsetAngle = Math.Acos(x[0]); Console.WriteLine(x[0] + ":" + Math.Acos(x[0])); Console.WriteLine(x[1] + ":" + Math.Asin(x[1])); } //第二步：根据θ角求出在基坐标系中点的映射 /// /// 将实际坐标系中的点转换到基坐标系中的点 /// /// /// public void GetCoordinateBaseSystem(CoorPoint src, out CoorPoint rlt) { double db1 = Math.Cos(offsetAngle); double db2 = Math.Sin(offsetAngle); rlt = new CoorPoint(); rlt.x = ((src.x / coorTimes.x) * Math.Cos(offsetAngle) + (src.y / coorTimes.y) * Math.Sin(offsetAngle) + a); rlt.y = ((src.y / coorTimes.y) * Math.Cos(offsetAngle) - (src.x / coorTimes.x) * Math.Sin(offsetAngle) + b); } /// /// 将基坐标系中的点转换到实际坐标系中的点 /// /// /// public void GetCoordinateRealisticSystem(CoorPoint src, out CoorPoint rlt) { double[] x = new double[2]; double[,] g = { { Math.Cos(offsetAngle), Math.Sin(offsetAngle),(src.x - a)*coorTimes.x }, { -Math.Sin(offsetAngle), Math.Cos(offsetAngle),(src.y - b)*coorTimes.y } }; GaussianElimination(g, x); rlt = new CoorPoint(); rlt.x = x[0]; rlt.y = x[1]; } #region 数学方法 //简单的高斯消元法； //输入要求解的扩展矩阵g[m,n]；和存放结果的数组x[n]; //返回值为计算结果数组x[n]; public static double[] GaussianElimination(double[,] g, double[] x) { int m = g.GetLength(0);//获得扩展矩阵的行（方程个数）； int n = g.GetLength(1);//获得扩展矩阵的列（未知数个数+1）； //======================================================== //消元过程； for (int i = 1; i < m; i++) { for (int j = i; j < m; j++) { for (int k = n - 1; k > i - 2; k--) { g[j, k] = g[j, k] - (g[j, i - 1] / g[i - 1, i - 1]) * (g[i - 1, k]); } } } //回代过程； //第一步：翻转； //换行； double tem; for (int i = 0; i < m / 2; i++) for (int j = 0; j < n; j++) { tem = g[i, j]; g[i, j] = g[m - i - 1, j]; g[m - i - 1, j] = tem; } //倒序 for (int i = 0; i < m; i++) for (int j = 0; j < n / 2; j++) { tem = g[i, j]; g[i, j] = g[i, n - 2 - j]; g[i, n - 2 - j] = tem; } //第二步：消元； for (int i = 1; i < m; i++) { for (int j = i; j < m; j++) { for (int k = n - 1; k > i - 2; k--) { g[j, k] = g[j, k] - (g[j, i - 1] / g[i - 1, i - 1]) * (g[i - 1, k]); } } } //第三步：翻回； //重新换行； for (int i = 0; i < m / 2; i++) for (int j = 0; j < n; j++) { tem = g[i, j]; g[i, j] = g[m - i - 1, j]; g[m - i - 1, j] = tem; } //重新倒序； for (int i = 0; i < m; i++) for (int j = 0; j < n / 2; j++) { tem = g[i, j]; g[i, j] = g[i, n - 2 - j]; g[i, n - 2 - j] = tem; } //取结果（这里是正序结果哦）； for (int i = 0; i < m; i++) x[i] = g[i, n - 1] / g[i, i]; return x;//返回计算结果； } #endregion }
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