今天给初一的同学整理了“平面直角坐标系”的相关知识点总结，这一章内容难度不大，关键是同学们需要掌握好各个知识点的细节，对于以后同学们学习函数，奠定基础！

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点　　注：我们在画直角坐标系时，要注意两坐标轴是互相垂直的，且有公共原点，通常取向右与向上的方向分别为两坐标轴的正方向。平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的。

分别以点的横坐标、纵坐标在数轴上表示的点为垂足，作x轴y轴的的垂线，两垂线的交点即为要找的点。

由该点分别向x轴y轴作垂线，垂足在x轴上的坐标是改点的横坐标，垂足在y轴上的坐标是该点的纵坐标。

第一象限：（+，+）      点P（x,y），则x＞0,y＞0；

第二象限：（-，+）       点P（x,y），则x＜0,y＞0；

第三象限：（-， -）      点P（x,y），则x＜0,y＜0；

第四象限：（+，-）       点P（x,y），则x＞0,y＜0；  

x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点不属于任何象限。

已知点P(m,n),

关于x轴的对称点坐标是(m,-n),  横坐标相同，纵坐标反号

关于y轴的对称点坐标是(-m,n)  纵坐标相同，横坐标反号

关于原点的对称点坐标是(-m,-n)  横，纵坐标都反号

平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；

平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

点P(a,b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b, a)

第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。

点P(a,b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(-b,-a)

点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，

点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。

已知点P(a,b)，则

（1）  点P到x轴的距离为|b|； （2）点P到y轴的距离为|a|；

（3）  点P到原点O的距离为PO＝ 

⑴设

则

特别地，

当

当

⑵.线段的中点坐标公式

设

则

在平面直角坐标系中，

将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（ x-a，y）；

将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）；

将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；

将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

能力提升类

例1  已知：点

一点通：点到坐标轴的距离表示长度，加绝对值列方程。

解：

解得，

所以，

   点评：本题容易忽视距离的表示，造成丢解。

例2  已知点

一点通：点M的横坐标中含有平方项，要考虑平方的非负性；点M的纵坐标需讨论n的大小，并比较与0的关系。

解：根据分类讨论：

当

当

当

    点评：判断点M在平面直角坐标系中的位置，讨论点的横、纵坐标与0的关系。

例3  已知点A、B、C的坐标分别为（－5，0）、（3，0）、（1，4），利用结论求线段AC、BC的中点D、E的坐标，并判断DE与AB的位置关系。（提示：若点P、Q的坐标是（x1，y1）、（x2，y2），则线段PQ中点的坐标为

一点通：根据所给的中点公式，求中点D、E的坐标，位置关系可以考虑平行或垂直等特殊情况。

解：由“中点公式”得

    点评：本题参照所给的中点公式结合书本的知识解题，是一类探求新知的问题。

综合运用类

例4  在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点。观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点个数共有_______个，第n个正方形（实线）四条边上的整点个数共有______个。

一点通：由里向外第1个正方形（实线）四条边上的整点个数是4个，

第2个正方形（实线）四条边上的整点个数是8个，

第3个正方形（实线）四条边上的整点个数是12个，

发现规律为4的倍数关系……

解：第10个正方形（实线）四条边上的整点个数共有4×10=40个；

第n个正方形（实线）四条边上的整点个数共有4×n=4n个；

    点评：发现规律是解此类题的关键。

例5  这是一个动物园游览示意图，试设计描述这个动物园图中每个景点位置的一个方法，并画图说明。

一点通：以动物园的南门为坐标原点，建立平面直角坐标系。

解：如图，建立平面直角坐标系。

所以，两栖动物馆A（4，1），飞禽馆B（3，4），狮子馆C（－4，5），马馆D（－3，－3）。

    点评：本题是经常出现的一类题，正确地建立直角坐标系是解题的关键。

思维拓展类

例6  在平面直角坐标系中，已知：

一点通：作点B关于x轴的对称点B'，连接

解：如图，作点B关于x轴的对称点B'，连接

所以点C坐标为：

    点评：本题是求两条线段和最小的问题，通常先考虑找对称点的方法解题。

例7  如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为（2，90°），称为点A的极坐标，根据上述表达出B、C、D、E各目标的位置分别是多少？

一点通：参考图中目标A的位置为（2，90°），点A在坐标的第二圈，横坐标标志为2，在90°角的方向上，纵坐标为90°。

解：点B在第5圈，30°角的方向上，所以B（5，30°）；

点C在第4圈，240°角的方向上，所以C（4，240°）；

点D在第3圈，300°角的方向上，所以D（3，300°）；

点E在第6圈，120°角的方向上，所以E（6，120°）。

    点评：本题为探求新知类问题，一定要参考所给的知识方法解题。

例8 如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为：A（–2，8），B（– 11，6），C（– 14，0），D（0，0）。

（1）确定这个四边形的面积；

（2）如果把原来ABCD各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？

一点通：求不规则图形的面积，考虑割补法。

解：将四边形分别割成直角三角形和长方形。

（1）S△ABE=9，S△BCG=9，S△AFO=8，S长方形BEFG=54，

所以S四边形ABCD=S△ABE+S△BCG+S△AFO+S长方形BEFG=80。

（2）如果把原来ABCD各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标增加2，图形的大小和形状都不改变，仅是位置发生了变化，所以四边形的面积仍为80。

    点评：本题主要考查割补法这一解题方法，同学们思考一下是否还有其它的割补方法吗？

   1. 点到x轴、y轴的距离易混淆。

2. 分清x轴、y轴上的点的特征。

3. 求不规则的三角形或四边形的面积时多考虑割补法。

4. 坐标的左、右和上、下平移，确定点的变化规律和方法。

5. 找规律问题，采用渗透观察、归纳、类比、概括的方法和数形结合的思想方法解题。

    将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（  ）

A. （11，3）  B. （3，11）  C. （11，9）  D. （9，11）

一点通：根据排列规律可知从1开始，第N排排N个数，呈蛇形顺序接力，第1排1个数；第2排2个数；第3排3个数；第4排4个数，根据此规律即可得出结论。

解：根据图中所揭示的规律可知，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，所以58在第11排；偶数排从左到右由大到小，奇数排从左到右由小到大，所以58应该在11排的从左到右第3个数。故选A。

点评：主要考查了学生读图找规律的能力，能从数列中找到数据排列的规律是解题的关键。

一、选择题

1. 在平面直角坐标系中，点（－2，4）所在的象限是（       ）

A. 第一象限     B. 第二象限      C. 第三象限      D. 第四象限

2. 点A（5，y1）和B（2，y2）都在直线y＝－x上，则y1与y2的关系是（      ）

A. y1≥y2      B. y1＝ y2   C. y1 ＜y2   D. y1＞y2

3. 一束光线从点A（3，3）出发，经过ｙ轴上的点Ｃ反射后经过点Ｂ（1，0），则光线从A点到Ｂ点经过的路线长是（    ）

    A. 4     B. 5     C. 6     D. 7

4. 已知点A（2，0）、点B（－

A. 第一象限                       B. 第二象限

C. 第三象限                       D. 第四象限

5. 某二元方程的解是

标，y看作平面直角坐标系中点的纵坐标，下面说法正确的是（   ）

    A. 点（x，y）一定不在第一象限        B. 点（x，y）一定不是坐标原点

    C. y随x的增大而增大                          D. y随x的增大而减小

6. 如图所示，小颖从家到达莲花中学要穿过一个居民小区，若小区的道路均是正南或正东方向，小颖走下面哪条线路不能到达学校（    ）

    A. （0，4）→（0，0）→（4，0）

    B. （0，4）→（4，4）→（4，0）

    C. （0，4）→（1，4）→（1，1）→（4，1）→（4，0）

    D. （0，4）→（3，4）→（4，2）→（4，0）

二、填空题

1. 点P（－1, 3 ）关于原点对称的点的坐标是          。

2. 已知点A（a，－3）和B（2，3）关于原点对称，则a＝_____________。

3. 如果点P（）关于原点的对称点为（－2，3），则x+y                 。

4. 在直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有          个。

*5. 在平面直角坐标系中，点A是y轴上一点，若它的坐标为（a－1，a＋1），另一点B的坐标为（a＋3，a－5），则点B的坐标是           。

三、解答题（共60分）

*1. 已知直角梯形上底长2cm，下底长5cm，另一个底角为30°，建立适当直角坐标系并写出右面图形的四个顶点的坐标，求出梯形的面积。

2. 下面的方格纸中，画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为1。

（1）“小猪”所占的面积为多少？

（2）在方格纸中作出“小猪”关于直线DE对称的图案（只画图，不写作法）；

（3）以G为原点，GE所在直线为x轴，GB所在直线为y轴，小正方形的边长为单位长度建立直角坐标系，可得点A的坐标是（_______，_______）。

3. 请同学们在下边的同一个直角坐标系中，画出两个形状相同，但面积不等的三角形。

**4. 一只兔子沿OP（北偏东30°）的方向向前跑。已知猎人在Q（1，）点挖了一口陷阱，问：如果兔子继续沿原来的方向跑，有没有危险？为什么？

一、选择题

1. B  2. C   3. B 4. C  5. B  6. D

二、填空题

1. （1,－3）  2. －2     3. －1  4. 4 5. （4，－4）

三、解答题

A（0,0）,D（5,0）,B（0,

（2）

（3）（－4，1）

3. 答案不唯一，如图：

4.有危险，因O、P、Q三点在同一直线上.