关键词：空间旋转、旋转轴

用途：相机位姿估计、无人机位姿估计、3D游戏、3D建模

文章类型：概念、公式总结（本文不带推导过程，若想了解公式是如何推出来的请搜索文献），C++函数展示

@Author：VShawn([email protected])

@Date:2016-11-04

@Lab: CvLab202@CSU

关于这个概念，搞3D的人应该都懂，而像我这样做图像处理的可能就对这个知道的比较少了。右手系这个概念其实很简单，看图就懂了。在坐标系中，右手摆成下图的样子，当拇指指向X轴食指指向Y轴时，中指指向了Z轴，满足这个条件的坐标系就是右手系。本文所有概念都在右手系下进行讨论。

右手系

当我要让一个点，绕Y轴转动了90°，并且用程序计算出了旋转结果，为了验证这个点是否旋转正确，我们需要知道这个90°是怎么转的。在网上搜索了挺多文章，都没有对这个东西进行明确的定义，那么这里给出我的总结。从原点（0,0,0）往Y轴方向看，此时视野中的坐标系降维到二维坐标系XOZ，那么让点绕O点顺时针转90°，即为正确的旋转结果。

[图待补]

这个问题比较简单，网上已经有较多总结：

设旋转前坐标为，旋转后坐标为。

首先给出向量表示：

\[\left[ x',y',z',1 \right]=\left[ x,y,z,1 \right]\left[ \begin{matrix} \cos \gamma & \sin \gamma & 0 & 0 \\ -\sin \gamma & \cos \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\]

然后是公式表示：

\[\begin{align} & x'=cos\gamma \cdot x-sin\gamma \cdot y \\ & y'=\sin \gamma \cdot x+co\gamma \cdot y \\ & z'=z \\ \end{align}\]

最后是代码表示

首先给出向量表示：

\[\left[ x',y',z',1 \right]=\left[ x,y,z,1 \right]\left[ \begin{matrix} \cos \beta & 0 & -\sin \beta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \sin \beta & 0 & \cos \beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\]

然后是公式表示：

\[\begin{align} & x'=cos\beta \cdot x+sin\beta \cdot z \\ & y'=y \\ & z'=-\sin \beta \cdot x+\cos \beta \cdot z \\ \end{align}\]

最后是代码表示

首先给出向量表示：

\[\left[ x',y',z',1 \right]=\left[ x,y,z,1 \right]\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ 0 & -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\]

然后是公式表示：

\[\begin{align} & x'=x \\ & y'=\cos \alpha \cdot y-\sin \alpha \cdot z \\ & z'=\sin \alpha \cdot y+\sin \alpha \cdot z \\ \end{align}\]

最后是代码表示

首先，需要定义"任意轴"的单位向量，例如X轴可以用向量来表示。

那么假设旋转轴的单位向量为，旋转前坐标为，旋转后坐标为，旋转角为，于是有：

\[\begin{align} & x'=(vx\cdot vx\cdot (1-cos\theta )+cos\theta )\cdot x+(vx\cdot vy\cdot (1-cos\theta )-vz\cdot sin\theta )\cdot y+(vx\cdot vz\cdot (1-cos\theta )+vy\cdot sin\theta )\cdot z \\ & y'=(vx\cdot vy\cdot (1-cos\theta )+vz\cdot sin\theta )\cdot x+(vy\cdot vy\cdot (1-cos\theta )+cos\theta )\cdot y+(vy\cdot vz\cdot (1-cos\theta )-vx\cdot sin\theta )\cdot z \\ & z'=(vx\cdot vz\cdot (1-\cos \theta )-vy\cdot \sin \theta )\cdot x+(vy\cdot vz\cdot (1-\cos \theta )+vx\cdot \sin \theta )\cdot y+(vz\cdot vz\cdot (1-\cos \theta )+\cos \theta )\cdot z \\ \end{align}\]

计算时照着公式代入即可。

最后给出代码实现：

前面的问题比较基础，到这个问题就需要一点空间想象力了。

首先我假设一个点绕x、y、z轴旋转90°，最终它会落在哪里？这个答案不是唯一的，因为旋转的顺序将会影响到最终的结果。

以点(1,2,3)为例

A 我让它首先绕x轴转90°，再绕y轴转90°，再绕z轴转90°。