射影定理

2024-06-15 02:30| 来源: 网络整理| 查看: 265

此条目介绍的是有关直角三角形的几何定理。关于存在无限多个质数的数论定理，请见“欧几里得定理”。

射影定理(台湾称“母子相似定理”)（英语：Geometric Mean Theorem），又称欧几里得定理（英语：Euclid's theorem），是平面几何中的一个定理。这个定理指出，在一个直角三角形中，一条直角边的平方，相等于三角形的斜边，乘以该边在斜边上的正投影。[1]这个定理出现在欧几里得所著《几何原本》第一卷当中，是第 47 个命题毕氏定理证明过程的一部分。[2]

目录 1 定理内容 2 证明 3 相关定理 3.1 直角三角形面积 3.2 勾股定理 3.3 几何平均定理 4 一般三角形的情况 5 三维空间上的推广 5.1 三直角四面体 5.2 一般四面体 5.3 任意图形的投影 6 参考资料 7 参见定理内容在 ΔABC 中，∠C = 90°，以及 CD ⊥ AB。AD 及 BD 分别是 AC 及 BC 在底边 AB 的正投影。

在 ΔABC 中，∠C = 90°。设 CD 在 AB 的上的高，则有：

A C 2 = A D ⋅ A B {\displaystyle {AC}^{2}=AD\cdot AB} B C 2 = B D ⋅ A B {\displaystyle {BC}^{2}=BD\cdot AB}

在这里，AD 及 BD 分别是 AC 及 BC 在底边 AB 的正投影，故定理以此为名。

证明

注意到 ΔABC 与 ΔACD 是相似三角形。因此可得

A B A C = A C A D {\displaystyle {\frac {AB}{AC}}={\frac {AC}{AD}}}

整理可得

A C 2 = A D ⋅ A B {\displaystyle {AC}^{2}=AD\cdot AB}

同理，考虑相似三角形 ΔABC 与 ΔCBD，可得

A B B C = B C B D {\displaystyle {\frac {AB}{BC}}={\frac {BC}{BD}}}

整理可得

B C 2 = B D ⋅ A B {\displaystyle {BC}^{2}=BD\cdot AB}

证明完毕。

相关定理直角三角形面积

在上面的 ΔABC 中，我们有：

A B ⋅ C D = A C ⋅ B C {\displaystyle AB\cdot CD=AC\cdot BC}

考虑三角形的面积，即可容易地证明。

勾股定理

勾股定理，是欧几里得所著《几何原本》第一卷当中的第 47 个命题。[2]这个定理指出：

A B 2 = A C 2 + B C 2 {\displaystyle {AB}^{2}={AC}^{2}+{BC}^{2}}

勾股定理与射影定理有密切关系。事实上，在《几何原本》中，射影定理正是该证明过程的一部分。从射影定理可知：

A C 2 = A D ⋅ A B {\displaystyle {AC}^{2}=AD\cdot AB} B C 2 = B D ⋅ A B {\displaystyle {BC}^{2}=BD\cdot AB}

将两条等式相加，则可得：

A C 2 + B C 2 = A D ⋅ A B + B D ⋅ A B {\displaystyle {AC}^{2}+{BC}^{2}=AD\cdot AB+BD\cdot AB}

由于 AD + BD = AB，因此可得：

A B 2 = A C 2 + B C 2 {\displaystyle {AB}^{2}={AC}^{2}+{BC}^{2}}

证明完毕。

几何平均定理

几何平均定理（英语：Geometric mean theorem），是在《几何原本》第六卷中的第 8 个命题。[3]这个定理指出：

C D 2 = A D ⋅ B D {\displaystyle {CD}^{2}=AD\cdot BD}

也就是说，CD 是 AD 和 BD 的几何平均。

与射影定理一样，几何平均定理可从相似三角形得证。

一般三角形的情况边长 a 及 b 在底边 c 的正投影，分别是 a cos β 及 b cos α。

对于 ∠C ≠ 90° 的情况，三角形边长的正投影可用余弦求得：

A D = A C cos ⁡ ∠ A {\displaystyle AD=AC\cos \angle A} B D = B C cos ⁡ ∠ B {\displaystyle BD=BC\cos \angle B}

以上结果从余弦的定义直接可得。

把上面两式相加，即可得：

A B = A C cos ⁡ ∠ A + B C cos ⁡ ∠ B {\displaystyle AB=AC\cos \angle A+BC\cos \angle B}

以上公式，又被称为“第一余弦定理”。[4]然而，一般“余弦定理”所指的，是另一条定理（“第二余弦定理”），详见余弦定理。

三维空间上的推广三直角四面体一个四面体。若构成顶点的三个面角皆为直角，则这是一个三直角四面体。

射影定理在三维空间上，也有相应的推广。设三直角四面体（英语：Trirectangular tetrahedron） ABCD 中，∠ADB = ∠ADC = ∠BDC = 90°。又设 D 在斜面 ΔABC 的正投影为 E。我们则有：

[ △ A D B ] 2 = [ △ A E B ] ⋅ [ △ A B C ] {\displaystyle [\triangle ADB]^{2}=[\triangle AEB]\cdot [\triangle ABC]} [ △ A D C ] 2 = [ △ A E C ] ⋅ [ △ A B C ] {\displaystyle [\triangle ADC]^{2}=[\triangle AEC]\cdot [\triangle ABC]} [ △ B D C ] 2 = [ △ B E C ] ⋅ [ △ A B C ] {\displaystyle [\triangle BDC]^{2}=[\triangle BEC]\cdot [\triangle ABC]}

其中 [ΔABC] 表示 ΔABC 的面积。

把以上三条等式相加，则可得德古阿定理：

[ △ A B C ] 2 = [ △ A D B ] 2 + [ △ A D C ] 2 + [ △ B D C ] 2 {\displaystyle [\triangle ABC]^{2}=[\triangle ADB]^{2}+[\triangle ADC]^{2}+[\triangle BDC]^{2}}

德古阿定理可以视为毕氏定理在三维空间上的其中一种推广。[5]

一般四面体

在四面体 ABCD 中，设 ΔABC 为底面。又设 D 在 ΔABC 的正投影为 E。我们则有：

A E = A D cos ⁡ α {\displaystyle AE=AD\cos \alpha } B E = B D cos ⁡ β {\displaystyle BE=BD\cos \beta } C E = C D cos ⁡ γ {\displaystyle CE=CD\cos \gamma }

其中 α 、β 及 γ 分别是 AD 、BD 及 CD 与底面 ΔABC 的夹角。

另外亦有：

[ △ A B E ] = [ △ A B D ] cos ⁡ θ {\displaystyle [\triangle ABE]=[\triangle ABD]\cos \theta } [ △ A C E ] = [ △ A C D ] cos ⁡ ϕ {\displaystyle [\triangle ACE]=[\triangle ACD]\cos \phi } [ △ B C E ] = [ △ B C D ] cos ⁡ ψ {\displaystyle [\triangle BCE]=[\triangle BCD]\cos \psi }

其中 θ 、ϕ 及 ψ 分别是 ΔABD 、ΔACD 及 ΔBCD 与底面 ΔABC 的夹角。

将上面三条等式相加，可得：

[ △ A B C ] = [ △ A B D ] cos ⁡ θ + [ △ A C D ] cos ⁡ ϕ + [ △ B C D ] cos ⁡ ψ {\displaystyle [\triangle ABC]=[\triangle ABD]\cos \theta +[\triangle ACD]\cos \phi +[\triangle BCD]\cos \psi }

是上面提到“第一余弦定理”的三维推广。

任意图形的投影

更进一步地说，面积为 S 的任意平面图形，在底面的正投影的面积 Sproj，都可用余弦求得：

S p r o j = S cos ⁡ θ {\displaystyle S_{\mathrm {proj} }=S\cos \theta }

其中 θ 是该平面图形与底面的夹角。

参考资料 ^ 曹才翰主编; 沈复兴, 孙瑞清, 余炯沛等副编. 《中國中學教學百科全書 • 數學卷》. 沈阳出版社. 1991. ISBN 9787805564241. 引文使用过时参数coauthors (帮助) ^ 2.0 2.1 Euclid. Proposition 47, Element, Book I. c 300 BC [2020-02-15]. （原始内容存档于2021-02-24）. 请检查|date=中的日期值 (帮助) 引用错误：带有name属性“Euclid_I47”的标签用不同内容定义了多次 ^ Euclid. Proposition 8, Element, Book VI. c 300 BC [2020-02-15]. （原始内容存档于2020-02-03）. 请检查|date=中的日期值 (帮助) ^ 中原晴彦. エジプト人のための三角比入門 (PDF). 顺天サイエンスライブラリー. 2003 [2020-02-15]. （原始内容存档 (PDF)于2020-02-15）. ^ Sergio A. Alvarez. Note on an n-dimensional Pythagorean theorem (PDF). Center for Nonlinear Analysis and Department of Mathematical Sciences, Carnegie Mellon University. [2020-02-15]. （原始内容存档 (PDF)于2012-10-02）. 参见 正投影 直角三角形三直角四面体（英语：Trirectangular tetrahedron） 毕氏定理 几何平均定理（英语：Geometric mean theorem）德古阿定理

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