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第07讲 平行四边形的判定-【寒假自学课】【学习目标】1．理解并掌握用边、角、对角线来判定平行四边形的方法 ．2．会综合运用平行四边形的判定定理和性质来解决问题 ．3．经历平行四边形判定条件的探索过程，提高推理能力 ．4．掌握用一组对边平行且相等的方法判定平行四边形的方法．5．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来证明问题．6．理解三角形中位线的概念．7．掌握三角形中位线的性质，并能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算．【基础知识】平行四边形的判定1．根据边：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．2．根据角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．3．根据对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形．【考点剖析】考点一：平行四边形的判定1．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．

2．四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）A．， B．，C．， D．，考点二：平行四边形性质与判定的综合应用3．如图，以BC为底边的等腰三角形ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．4．如图，在平行四边形中，点E，F分别在边上，，求证：．考点三：三角形的中位线定理5．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．6．已知，，点E、F分别是的中点，则 ．7．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．考点四：三角形中位线定理的应用8．如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使，，测得，则A，B间的距离为 m．9．如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是、中点，测量的长度为，那么的长度为（ ）A． B． C． D．【真题演练】10．下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（　　）A．3∶4∶3∶4 B．3∶3∶4∶4 C．2∶3∶4∶5 D．3∶4∶4∶311．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（　　）A．若AO＝OC，则ABCD是平行四边形B．若AC＝BD，则ABCD是平行四边形C．若AO＝BO，CO＝DO，则ABCD是平行四边形D．若AO＝OC，BO＝OD，则ABCD是平行四边形12．如图，的周长为，对角线、相交于点，点是的中点，，则的周长为（ ）

A． B． C． D．13．如图，在中，，点，分别是，的中点，点在的延长线上，，，，则四边形的周长为（ ）

A．14 B．16 C．18 D．2014．下面有四个定理：①平行四边形的两组对边分别相等；②平行四边形的两组对角分别相等；③平行四边形的两组对边分别平行；④平行四边形的对角线互相平分；其逆命题正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD．AD＝BCC．AD∥BC，∠ABC＝∠ADC D．AB＝CD，∠ABC＝∠ADC16．下列说法中，不正确的是（ ）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形17．如图，设是边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则（ ）A． B． C． D．不能确定18．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（ ）A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定19．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为( )A．12 B．14 C．24 D．21【过关检测】20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件： ，使四边形ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线）．21．如图，在△MBN 中，已知：BM＝6，BN＝7，MN＝10，点 A C，D 分别是 MB，NB，MN 的中点，则四边形 ABCD 的周长 是 ．22．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠EPF=147°，则∠PFE的度数是 ．23．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 厘米．

24．如图，在中，点为的中点，平分且于点，延长交于点若，则 ．25．如图，在四边形中，，；，，垂足分别为，．（1）求证：≌；（2）若与交于点，求证：．26．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．27．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在BD上，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形.28．已知：如图，在中，中线交于点分别是的中点．求证：（1）；（2）和互相平分．试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页参考答案：1．四边形ABFC是平行四边形；证明见解析.【分析】易证△ABE≌△FCE（AAS），然后利用一组对边平行且相等可判断四边形ABFC是平行四边形.【详解】四边形ABFC是平行四边形；理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAE=∠CFE，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，∴△ABE≌△FCE（AAS）；∴AB=CF，又∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形．考点：1平行四边形的判定；2全等三角形.2．D【分析】分别利用平行四边形的判定方法进行判断即可得出结论．【详解】解： ，四边形是平行四边形，故选项A不合题意；，四边形是平行四边形，故选项B不合题意；，四边形是平行四边形，故选项C不合题意；，四边形不一定是平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考察了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．3．（1）证明见解析；（2）【详解】试题分析：（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，证出∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，得出∠DEG=∠C，证出∠F=∠DEG，得出BF∥DE，即可得出结论；（2）证出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF的值，作FM⊥BD于M，连接DF，则△BFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出FM的值，进而得出DM=3，在Rt△DFM中，由勾股定理求出DF即可．试题解析：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C，∵EG∥BC，DE∥AC，∴∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，∴∠DEG=∠C，∵BE=BF，∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，∴∠F=∠DEG，∴BF∥DE，∴四边形BDEF为平行四边形；（2）解：∵∠C=45°，∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，∴BF=BE= BD=，作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：则△BFM是等腰直角三角形，∴FM=BM=BF=1，∴DM=3，在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF= =，即D，F两点间的距离为．点睛：本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理是解决问题的关键．4．见解析【分析】根据平行四边形的性质可得再结合可得，然后再证四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可证明结论．【详解】证明：∵四边形是平行四边形∴，∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，根据题意证得四边形是平行四边形是解答本题的关键．5．（1）证明见解析；（2）6．【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．【详解】证明：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DE=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M为EF的中点，OM=3，∴EF=2OM=6．由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．6．【分析】根据三角形中位线定理可得，再由勾股定理求出，即可求解．【详解】解：如图，∵点E、F分别是的中点，∴，∵，∴，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理，勾股定理是解题的关键．7．证明见解析.【分析】利用三角形中线的性质、中位线的定义和性质证得四边形EFGD的对边DE∥GF，且DE=GF=BC；然后由平行四边形的判定——对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得结论．【详解】证明：如图，连接ED、DG、GF、FE．∵BD、CE是△ABC的两条中线，∴点D、E分别是边AC、AB的中点，∴DE∥CB，DE＝CB；又∵F、G分别是OB、OC的中点，∴GF∥CB，GF＝CB；∴DE∥GF，且DE＝GF，∴四边形DEFG是平行四边形(对边平行且相等的四边形是平行四边形)．【点睛】考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定．平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．8．100【详解】解：∵点A，B分别是CM，CN的中点，∴AB是△AMN的中位线，∴AB=MN，∵MN=200，∴AB=100.故答案为：100.9．B【分析】由三角形中位线定理即可求得的长度．【详解】∵M、N分别是、中点，且，∴是的中位线，∴；故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线定理的实际应用，掌握定理是关键．10．A【分析】由于两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故只有A能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定．【详解】解：根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可知A正确，B，C，D错误．故选A．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法．11．D【分析】根据平行四边形的判定条件进行逐一判断即可.【详解】解：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形的对角线互相平分∴D能判定ABCD是平行四边形．若AO＝BO，CO＝DO，证明AC=BD，并不能证明四边形ABCD是平行四边形，故C错误，若AO＝OC，条件不足，无法明四边形ABCD是平行四边形，故A错误，若AC＝BD，条件不足，无法明四边形ABCD是平行四边形，故B错误，故选：D．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定条件.12．A【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题【详解】解：平行四边形的周长为18，，，，∴，，，的周长为，故选．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．13．B【分析】根据勾股定理先求出BC的长，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出DE和AE的长，进而由已知可判定四边形AEDF是平行四边形，即可求得其周长．【详解】在Rt△ABC中，∵AC=6，AB=8，∴BC=10，∵E是BC的中点，∴AE=BE=5，∴∠BAE=∠B，∵∠FDA=∠B，∴∠FDA=∠BAE，∴DF∥AE，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，DE= AC=3∴四边形AEDF是平行四边形∴四边形AEDF的周长=2×（3+5）=16．故选B．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定；熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理是解题的关键．14．D【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据平行四边形的判定定理判断即可．【详解】解：平行四边形的两组对边分别相等的逆命题是两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是真命题；平行四边形的两组对角分别相等的逆命题是两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题；平行四边形的两组对边分别平行的逆命题是两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题；平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题．故选D【点睛】本题考查的是命题的真假判断和逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．15．D【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、∵，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；C、∵，∴，∵，∴，∴，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；D、由不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解决本题的关键．16．D【分析】由平行四边形的判定方法得出A、B、C正确；即可得出结论．【详解】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴A正确；∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵一组对边且相等的四边形是平行四边形，∴C正确；∵一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，∴D不正确．故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法：熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．17．A【分析】如图（见解析），过点M作，交CD于点N，先根据平行四边形的判定可得四边形和四边形都是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得．【详解】如图，过点M作，交CD于点N，四边形ABCD是平行四边形，，，四边形和四边形都是平行四边形，，，故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键．18．C【分析】因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．【详解】解：连接AR．因为E、F分别是AP、RP的中点，则EF为的中位线，所以，为定值．所以线段的长不改变．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．19．A【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，然后代入数据进行计算即可得解．【详解】∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，∴BC＝，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，又∵AD＝7，∴四边形EFGH的周长＝7+5＝12.故选A.【点睛】此题考查三角形中位线定理，勾股定理，解题关键在于求出BC的值20．AD=BC．【分析】直接利用平行四边形的判定方法直接得出答案．【详解】当AD∥BC，AD=BC时，四边形ABCD为平行四边形．故答案是AD=BC（答案不唯一）．21．13【分析】根据中位线性质可以推出CD∥AB，AD∥BC，可得四边形ABCD为平行四边形，由中点可得四边形ABCD的周长【详解】∵点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点，∴CD∥AB，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AD=BC.∵BM＝6，BN＝7，点A，C分别是MB，NB的中点，∴AB=3，BC=3.5，∴四边形ABCD的周长=（AB+BC）×2=（3+3.5）×2=13.故答案为13【点睛】本题考查了中位线的性质，以及平行四边形的判定及性质，掌握中位线的性质及平行四边形的性质是解题的关键.22．16.5°【分析】根据三角形中位线定理得到PE=AD，PF=BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE=AD，同理，PF=BC，∵AD=BC，∴PE=PF，∴∠PFE=×（180°-∠EPF）=16.5°，故答案为16.5°．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．23．3【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米．∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6厘米．∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线．∴EF=AB=3厘米．故答案为：324．【分析】通过平分且于点，即可得，，D为BN中点，为的中位线，即可通过NC求DM．【详解】解：平分且于点，在和中为以BN为底边的等腰三角形，D为BN中点又在中，D为BN中点、M为BC中点为的中位线故答案为：3．【点睛】本题考查全等三角形的判定定理及中位线定理，注意找到全等的条件是解题的关键，属于中考常考题型．25．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由题意易得，然后由，可求证；（2）由（1）可得，，则有，进而可得，然后问题可求证．【详解】（1）证明：∵，，∴，∵，，∴≌．（2）由（1）≌，∴，∵，，∴，∵，∴∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；（2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．【详解】详解：证明：（1），，在和中，，≌；（2）解：如图所示：由（1）知≌，，，，四边形ABDF是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．27．见解析【分析】根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形．【详解】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形∴ OA=OC, OB=OD又∵ BE=DF∴ OB-BE=OD-DF 即OE=OF∵OA=OC∴ 四边形DEBF是平行四边形.【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质：平行四边形的对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形．28．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用三角形中位线定理即可得出FG=DE，且FG∥DE；（2）由（1）的条件可以得出四边形DEFG为平行四边形，根据平行四边形的性质可以得出对角线和互相平分．【详解】（1）在△ABC中，∵BE、CD为中线∴AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC且DE=BC．在△OBC中，∵OF=FB，OG=GC，∴FG∥BC且FG=BC．∴DE∥FG（2）由（1）知：DE∥FG，DE=FG．∴四边形DFGE为平行四边形．∴和互相平分【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，正确利用三角形中位线定理是解题关键．答案第1页，共2页答案第1页，共2页

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