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求和符号Σ，关于这个符号用法的科普，似乎处于一个尴尬的境地：懂的人大都觉得太简单，不屑于做，但确实又有很多人对它很头疼，甚至压根不知道这个符号。

另一方面来说，这个符号在一些推导过程中又的确很常用，如果对这个符号的用法没有融会贯通，很难再看一些稍微深一点的科普内容。

而数学课本里一般也不会有专门的章节来讲这个符号。

所以我来尝试下写一篇科普，把这个基础符号的用法给讲清楚。

首先，要对数学家有一个基本的信任：任何一个能被沿用至今的数学符号都是为了用最简单并且没有歧义的方法来表达一个复杂的概念，而不是数学家故意搞一个复杂的东西来恶心人的产物。

很多时候你只觉得一个符号或表达式很复杂，却不知它是挡在你和更复杂的概念之间的一个缓冲带。如果没有这些符号，我们在复杂的东西面前将更束手无策、只能坐以待毙。

Σ这个符号是来自希腊字母，国内有的人把它念成“西格玛”，有的人把它念成“say格玛”，都行。如果要用输入法打出这个符号，可以尝试直接输入“sigma”。

Σ这个符号一般用在求和式中，求和式一般包括三个部分：

求和域：求和的范围

求和项：求和的对象

求和符号：就是Σ这个符号，指明了这个式子是个求和式。

以上三点请牢记。所有的求和表达式不管多花里胡哨，全都万变不离其宗。

第一种表示方法

先看一个例子：表达“中国人的体重之和”。这里，“中国人”就是求和域，体重就是求和项。如果要用求和式来表达，那就可以表达成：

这个就是求和式最一般的写法了。

如果把所有中国人记作集合Z，体重记作W，那么上式就能写成更像数学的式子：

Ok，是不是很简单？列个表格来小结一下：

第二种表示方法

很多时候，求和项会是一个函数，比如，这时候如果要表达在分别等于1,2,3时的之和，也就是。

这时的求和域就变成了集合。那么这个和就可以表达成：

但是，到了这里有时会有一些不严谨，的表达式里可能还有别的字母，例如。那么这个式子表达的究竟是，还是呢？无法确定。那么，在歧义面前，便利性必须做出让步。所以，一般来说为了避免歧义，会把式子写成这样：

这样就知道，是而不是在分别取求和域中的不同值。以上面的例子来说就是，而不是。这样就消除了歧义。

如果这个还是理解有困难，再举个通俗的例子：

看这个表达式，你无法区分它表达的是“每个英雄攻击英雄B分别产生的伤害的和”还是“英雄A攻击每个英雄分别产生的伤害的和”。这时候就要把它写成下面这样来避免歧义：

第三种表示方法

当求和域是一串连续的整数组成的集合，例如与上文相同的“分别等于1,2,3时的之和”，有一种约定俗成的表达方法：

这里的1和3分别叫做求和下限和求和上限。它表达的意思就是说求和域是在1和3之间的所有整数。

这种表达有它的局限性：如果求和域里有非整数，或者求和域是所有偶数，都没法用这种方法表达。

优点则是不需要集合的概念，以及对某些处理比较方便，比如：我们可以很轻松地把一个求和式拆成两个：

这个式子的意思也就是求和范围可以划分成和来分别求和再相加。

这一节主要举例来说一些看上去比较复杂的求和式，但是还是那句话，求和式就是三要素：求和域、求和项、求和符号。形式上再怎么玩出花来，本质上也是万变不离其宗。

带额外说明的求和

举个通俗的例子，如果要表达“所有除了浙江人以外的中国人的体重之和”，就可以在上文的基础上加上一点额外说明：

当然，额外说明也可以有很多条，比如“身高170以下的除外”、“月收入小于1w的除外”，需要注意的是额外说明必须要明确，不能是“长得好看的人除外”这样的模糊标准（好看的标准因人而异）。

有多条额外说明的时候式子乍一眼看起来好像很复杂，但其实耐下心来一条条看一般都能看懂。

多元求和域

有时候求和范围可能不是只关于一个变量的，比如“每个远程英雄分别攻击每个近战英雄造成的伤害之和”，这时候攻击英雄和被攻击英雄都有一个范围，这个求和域就是多元的了，可以表示成：

这个例子中，英雄A的选取和英雄B的选取之间毫无关系。但是，有很多时候多元求和域不一定是两个独立的求和域。

比如：求和域是（b的范围跟a的取值相关），求和项是，就可以写成：

这个求和式中，求和域的点在a-b平面内呈三角形状分布，如下图红点所示。

多重求和

多元求和域的求和式往往还可以表达成一个多重求和。例如上一个例子中，其求和式还可以等价地写成：

这里要引入一条多重求和式的计算法则：多重求和式中，从右往左依次计算。例如上式中，先算红色字体的部分，再把红色部分作为一个整体，进行下面的计算。

这样做的好处是，可以把多个元依次剥离出来，每次求和只对一个元求和。

还是上面这个例子，观察红色部分，可以发现当a的值选定后，这个部分的结果也就定了，比如：选定a=1后，红色部分就等于；选定a=2后，红色部分就等于。也就是说，红色部分是一个只关于a的函数，我们把它记为。

这样，就可以把上面的式子写成：

如此，就能实现减元。在处理很多实际求和式的时候经常需要用到这种处理。

来个通俗的例子，如何表示：每个英雄对攻击力不如自己的所有英雄进行攻击所造成的总伤害之和？

具体来说，比如一共4个英雄，他们的攻击力如下：

我们用代表英雄1对英雄2攻击造成的伤害。那么这个求和所表示的应该就是：

（没有英雄比小蔡的攻击力低，所以小蔡的造成的总伤害就是0）

用求和式表示就是下面这样：

同样，当英雄1选定了以后，红色部分也就是这个英雄攻击造成的总伤害只和英雄1选什么有关。

求和式的最终目的还是要在数学的推导、运算中简化书写。在这里用比较通俗的例子列举几种常用的求和式处理技巧。

1.     求和项相同，求和域不重合的两个求和式相加，可以合并：

2.     求和项不同，求和域相同的两个求和式相加，可以合并：

3.     外层求和域相同的两个多重求和式相加，可以合并：

当然，上述三种处理技巧也只是比较基础的。还需读者多多思考才能融会贯通、举一反三。