定义

考虑两个系统

设其初始值微小误差为

经过一次迭代后有

其中

第二次迭代得到

········

经过第n次迭代得

可见，两个系统对初始扰动的敏感度由导数|df/dx|在x0处的值决定，它与初始值x0有关。映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行n次迭代：

每次迭代平均分离值为

两个系统如果初始存在微小的差异，随着时间（或迭代次数）产生分离，分离程度常用李雅普诺夫（Lyapunov）指数来度量，它为几何平均值的对数

式中xn为第n次迭代值。令n趋于无穷，得到李雅普诺夫指数的计算公式：

1. 李雅普诺夫指数

Lyaponuv（李雅普诺夫）指数表示相空间相邻轨迹的平均指数发散率的数值特征。又称李雅普诺夫特征指数，是用于识别混沌运动若干数值的特征之一。

李雅普诺夫指数常常被用来判定一个系统的混沌性，通过图像可以直观地看出某个系统或者映射是否是混沌系统或映射。

2. Lyaponuv指数性质

我们假定Lyaponuv指数用 来表示，那么对于 的不同取值有以下不同的含义：

当lambda >0时，系统运动会进入混沌状态，对应的映射叫做混沌映射；

当 lambda