markdown 公式

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markdown 公式

2024-07-09 21:05| 来源: 网络整理| 查看: 265

如何在知乎中优雅的写数学公式吗?如何在知乎直接贴 markdown 文件?

我发现一个神网站解决了这个问题: http://mdnice.com

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使用 http://mdnice.com结合 LaTeX 语法编写数学公式,一键复制到知乎文章,简直太方便了!

如果对 LaTeX语法不熟悉,可参考知乎问题:知乎上的公式是怎么打出来的?。

不如我们来看一下使用http://mdnice.com排版的文章,如下所示

以下来自一个 markdown 文件的一部分: https://github.com/fengdu78/Data-Science-Notes/blob/master/0.math/1.CS229/markdown/1.CS229-LinearAlgebra.md

排版效果

假设

是一个函数,它接受 中的向量并返回实数。那么关于 黑塞矩阵(也有翻译作海森矩阵),写做: ,或者简单地说, 矩阵的偏导数:

换句话说,

,其:

注意:黑塞矩阵通常是对称阵:

与梯度相似,只有当

为实值时才定义黑塞矩阵。

很自然地认为梯度与向量函数的一阶导数的相似,而黑塞矩阵与二阶导数的相似(我们使用的符号也暗示了这种关系)。 这种直觉通常是正确的,但需要记住以下几个注意事项。 首先,对于一个变量

的实值函数,它的基本定义:二阶导数是一阶导数的导数,即:

然而,对于向量的函数,函数的梯度是一个向量,我们不能取向量的梯度,即:

上面这个表达式没有意义。 因此,黑塞矩阵不是梯度的梯度。 然而,下面这种情况却这几乎是正确的:如果我们看一下梯度

的第 个元素,并取关于于 的梯度我们得到:

这是黑塞矩阵第

行(列),所以:

简单地说:我们可以说由于:

,只要我们理解,这实际上是取 的每个元素的梯度,而不是整个向量的梯度。

最后,请注意,虽然我们可以对矩阵

取梯度,但对于这门课,我们只考虑对向量 取黑塞矩阵。 这会方便很多(事实上,我们所做的任何计算都不要求我们找到关于矩阵的黑森方程),因为关于矩阵的黑塞方程就必须对矩阵所有元素求偏导数 ,将其表示为矩阵相当麻烦。 4.3 二次函数和线性函数的梯度和黑塞矩阵

现在让我们尝试确定几个简单函数的梯度和黑塞矩阵。 应该注意的是,这里给出的所有梯度都是CS229讲义中给出的梯度的特殊情况。

对于

, 设 的某些已知向量 ,则:

所以:

由此我们可以很容易地看出

。 这应该与单变量微积分中的类似情况进行比较,其中 。 现在考虑 的二次函数 。 记住这一点:

为了取偏导数,我们将分别考虑包括

因子的项:

最后一个等式,是因为

是对称的(我们可以安全地假设,因为它以二次形式出现)。 注意, 的第 个元素是 的第 行的内积。 因此, 。 同样,这应该提醒你单变量微积分中的类似事实,即

最后,让我们来看看二次函数

黑塞矩阵(显然,线性函数 的黑塞矩阵为零)。在这种情况下:

因此,应该很清楚

,这应该是完全可以理解的(同样类似于 的单变量事实)。

简要概括起来:

(如果 是对称阵) (如果 是对称阵)

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