幂等矩阵的性质及证明 |
您所在的位置:网站首页 › 幂等矩阵的性质及应用 › 幂等矩阵的性质及证明 |
定义:若$AA=A$,则称$A$为幂等矩阵。 1.幂等矩阵的特征值只取1和0两个数值证明: 设$\lambda$是幂等矩阵$A$的特征值,$\bold{v}$是与$\lambda$对应的特征向量,则 $\lambda \bold{v}=A\bold{v}=A^2 \bold{v}=\lambda^2 \bold{v}$ 即$(\lambda^2-\lambda)\bold{v}=\bold{0}$ 因为 $\bold{v}\not=\bold{0}$,所以$(\lambda^2-\lambda)=0$,故$\lambda=0$或$1$. 2.幂等矩阵一定可以对角化证明: 证明此性质需用到两个引理: 引理1:$r(A+B) \leq r(A)+r(B)$ (这里$r$表示矩阵的秩) 引理2:$A_{m \times n} B_{n \times k} \leq n$ 现假设A为$n \times n$的幂等矩阵,且$r(A)=r$ 因为$A(E-A)=A-AA=A-A=0$ 所以$n=r(E)=r(A+(E-A)) \leq r(A)+r(E-A) \leq n$ 故有$r(A)+r(E-A) = n$ 设$\lambda$是矩阵$A$的特征值,根据上面的性质1,$\lambda=0$或$1$ 对应于$\lambda=0$的有$n-r(0 \times E-A)$个线性无关的特征向量(即方程$(0 \times E-A)x=0$基础解系有$n-r(0 \times E-A)$个基向量) 对应于$\lambda=1$的有$n-r(1 \times E-A)$个线性无关的特征向量 由于$r(0 \times E-A) + r(1 \times E-A) = r(A)+r(E-A) = n$ 所以$A$有$[n-r(0 \times E-A)] + [n-r(1 \times E-A)] = n$个线性无关的特征向量,所以$A$一定可以对角化,其对角化之后的形式可表示为 证明:由性质2容易导出该性质。 4.假设A为$n \times n$的幂等矩阵,且$r(A)=r$,则$A$有$r$个特征值1,$n-r$个特征值0证明:由性质2容易导出该性质。
|
今日新闻 |
推荐新闻 |
CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3 |