幂等矩阵(Idempotent matrix) |
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在线性代数中,幂等矩阵是指一个矩阵乘以自己等于自己。也就是说,当且仅当MM==M时,M是幂等的;因此,M必须是方阵。从这个方面看,幂等矩阵是矩阵环的幂等元组成。 举例 如果矩阵是幂等的,则如下公式成立: 从公式2和公式3得出,b=0且c=0,或者a+d=1。因此,对于 如果b=c的话,则只要满足
这就是以(1/2,0)为圆点,以1/2为半径的圆。引入角度θ标识,则幂等矩阵为 , 当前上面的幂等矩阵只是 幂等矩阵除了幂等的特性外,它还是奇异的。假如M是满秩的,则 如果M是幂等矩阵,则M-I也一定是幂等矩阵, 如果M是幂等矩阵,则它一定是可对角化的,即一定存在一个矩阵P,使得 幂等矩阵通常用于回归分析和经济学中。例如,在普通的最小二乘中,回归问题是选择一个互相关系数向量β来最小化平方残差,用矩阵的形式描述如下: 最小化 这里,y是观测输出的因变量向量,X的每一列是自变量中的一个的一列观测结果。估算的结果是,
这里,T标识转置,残差向量为: 这里的M和 M的幂等特性在其它值的运算中也有用,例如计算 |
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