如今网络兴起各种各样的盘点，我也来赶一下时髦，盘点一下数学里的各种相关的概念。这一篇我们来盘点一下大学数学之后的各种收敛性的概念。当然我们主要侧重于大学阶段的内容，研究生阶段的概念我们不多涉及。

大学数学从微积分开始，就会遇到各种各样的收敛性概念，例如逐点收敛与一致收敛，条件收敛与绝对收敛，强收敛与弱收敛，还有依距离收敛，依范数收敛，依概率收敛，依测度收敛等等等等。我们来简单地叙述这些概念。

1，收敛，意思就是极限存在。函数极限的直观定义是：当 \(x\) 无限趋近于 \(a\) 时，函数 \(f(x)\) 无限接近于常数 \(A\)，我们就说 \(A\) 是函数 \(f(x)\) 当 \(x\to a\) 时的极限。或者说当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时，函数 \(f(x)\) 的极限是 \(A\) 或者函数 \(f(x)\) 收敛于 \(A\)。

自从柯西给出了极限的严格定义后，极限的定义都采用了 \(\epsilon-\delta \) 语言来定义：

对所有的 \(\epsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使得当 \(0N(x,\epsilon)\) 时， \(|f_n(x)-f(x)|0\)，存在 \(N(\epsilon)>0\)，当 \(n>N(\epsilon)\) 时， \(|f_n(x)-f(x)|0\) \[\lim_{n\to\infty}\mu(\{x:|f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\})=0\]

这里 \(\mu\) 是定义在 \(X\) 上的一个测度。

依概率收敛：如果对于任意对于任意的 \(\epsilon>0\)，随机变量序列 \(X_n\) 满足

\[\lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|\geq \epsilon)=0\]

我们称随机变量序列 \(X_n\) 依概率收敛于随机变量 \(X\)。

如果将概率看成测度，那么依概率收敛就是一种依测度收敛。

8，几乎处处收敛：

这是实变函数或者实分析中的概念。“几乎处处”是指除去一个零测集外，每一个点处满足的概念。

我们说一个函数列 \(\{f_n\}\) 几乎处处收敛于 \(f\)，是指

\[\mu(\{x:\lim_{n\to \infty}(f_n(x)-f(x))\ne 0\})=0\]

换句话说，就是函数列 \(f_n\) 不收敛于 \(f\) 的所有的点的集合，测度为 \(0\)。

9，结语：一般来说，分析学各课程，都少不了各种各样的收敛概念，因为收敛性这一概念是分析学科的基础。有了这些基础，才能更一步理解后续的内容。