在讨论定积分时有两个默认的限制条件：一是积分区间有穷，二是被积函数有界。在实际问题中往往需要突破这些限制，如需要在无穷区间上进行积分，或求无解函数的积分(函数在积分区间的某点上无界)。此时，研究的积分称为反常积分(improper integral，或称为非正常积分，广义积分。原有的定积分为Riemann积分，或常义积分，记作$f\in R[a,b]$，表示函数$f$ 在闭区间$[a,b]$上黎曼可积)。在研究反常积分时常常研究其收敛性或发散性，这一点与数项级数一致。更进一步，含参量反常积分和函数项级数研究一致收敛性和发散性。

无穷积分是第一类反常积分，指积分区间的上限或下限为无穷的积分。

设函数$f$定义在无穷区间$[a,+\infty]$上，且在任何有限区间$[a,u]$上可积。如果存在极限$$\lim_{u\to +\infty}\int^u_a f(x) \mathrm{d}x = J,$$则称此极限$J$为函数$f$在$[a,+\infty]$上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作$$J = \int^{+\infty}_a f(x) \mathrm{d}x,$$并称$\int^{+\infty}_a f(x) \mathrm{d}x$收敛，如果极限不存在，则称$\int^{+\infty}_a f(x) \mathrm{d}x$发散。

类似地，可定义$f$在$(-\infty,b)$上的无穷积分：$$\int^b_{-\infty}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{v\to -\infty}\int^b_v f(x)\mathrm{d}x.$$对于$f$在$(-\infty,+\infty)$上的无穷积分，定义如下：$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \int^a_{-\infty} f(x) \mathrm{d}x + \int^{+\infty}_a f(x) \mathrm{d}x.$$

其中，$a$为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才收敛。收敛性与收敛时的值都和实数$a$的选取无关。$f$在任何有限区间$[v,u]\subset(-\infty,+\infty)$上必须可积。前面定积分的换元法、分部积分法仍然适用。

$\int^{+\infty}_a f(x)\mathrm{d}x$收敛的几何意义：若$f$在$[a,+\infty]$上为非负连续函数，则曲线$y=f(x)$，直线$x=a$以及$x$轴之间所围区域面积为$J$.

无穷积分$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} \mathrm{d}x$在$p>1$时收敛到$\frac{1}{p-1}$；在$p\leq 1$时发散。

瑕积分为第二类反常积分，指被积函数在积分区间中含有不连续点的积分。

设函数$f$定义在区间$(a,b]$上，在点$a$的任意右邻域内无界，但在任何内闭区间$[u,b]\subset(a,b]$上有界且可积。如果存在极限$$\lim_{u\to a^+} \int_u^b f(x) \mathrm{d}x = J,$$则称此极限为无界函数$f$在$(a,b]$上的反常积分，记作$$J = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x,$$并称反常积分$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$收敛。如果极限不存在，说反常积分$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$发散。称点$a$为$f$的瑕点，无界函数反常积分$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$又称为瑕积分。

类似地，可定义瑕点为$b$时的瑕积分：$$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{v \to b^-} \int_a^v f(x) \mathrm{d}x.$$其中$f$在$[a,b)$有定义，在点$b$的任一左邻域内无界，但在任何$[a,v] \subset [a,b)$上可积。

若$f$的瑕点$c\in(a,b)$，则定义瑕积分$$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x \\= \lim_{u\to c^-} \int_a^u f(x)\mathrm{d}x + \lim_{v\to c^+}\int_v^b f(x)\mathrm{d}x.$$其中$f$在$[a,c)\cup(c,b]$上有定义，在点$c$的任一邻域内无界，但任何$[a,u]\subset [a,c)$和$[v,b]\subset(c,b]$上都可积。当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的。

又若$a,b$两点都是$f$的瑕点，而$f$在任何$[u,v]\subset(a,b)$上可积，这是定义瑕积分$$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\mathrm{d}x + \int_c^b f(x)\mathrm{d}x \\= \lim_{u\to a^+} \int_u^c f(x)\mathrm{d}x + \lim_{v \to b^-} f(x) \mathrm{d}x,$$其中$c$为$(a,b)$内任一实数。同样地，当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的。

瑕积分$\int_0^1 \frac{1}{x^p} \mathrm{d}x \ (p > 0)$，当$00$都是发散的。

设函数$f$ 在$(-\infty, +\infty)$上内闭可积（即在任何闭子区间上都可积），定义$$\textbf{PV} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{A \to +\infty} \int_{-A}^A f(x) \mathrm{d}x$$为反常积分（广义积分）$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$的柯西主值（Cauchy Principal Value），如果右边极限存在的话。

对于无界积分。设$f$在区间$[a,b]$中只有一个瑕点$c$，$a