在数学与信号处理的领域中，一个实值函数 x ( t ) x(t) x(t)，其Hilbert变换记作 x ^ ( t ) \hat{x}(t) x^(t)定义为： x ^ ( t ) = H [ x ( t ) ] = x ( t ) ∗ 1 π t = 1 π ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) t − τ d τ \begin{array}{ll} \hat{x}(t); =H[x(t)]\\ ;=x(t)*\frac{1}{\pi t}\\ ;=\frac{1}{\pi }\int^{\infty}_{-\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}d\tau \end{array} x^(t)​=H[x(t)]=x(t)∗πt1​=π1​∫−∞∞​t−τx(τ)​dτ​ 在此H标示为希尔伯特变换。 希尔伯特反变换： x ( t ) = H − 1 [ x ( t ) ] = − 1 π ∫ − ∞ ∞ x ^ ( τ ) t − τ d τ \begin{array}{ll} x(t);=H^{-1}[x(t)]\\ ;=-\frac{1}{\pi }\int^{\infty}_{-\infty}\frac{\hat{x}(\tau)}{t-\tau}d\tau \end{array} x(t)​=H−1[x(t)]=−π1​∫−∞∞​t−τx^(τ)​dτ​ 因此，希尔伯特变换结果 x ′ ( t ) x'(t) x′(t)可以被解读为输入是 x ( t ) x(t) x(t)的线性时不变系统的输出，而此系统的脉冲响应为 h ( t ) = 1 π t h(t)=\frac{1}{\pi t} h(t)=πt1​。 因此，Hilbert变换可以看成是将原始信号通过一个滤波器，或者一个转向器，这个系统的冲击响应为h(t)。 对 h ( t ) h(t) h(t)做傅里叶变换，得到 H ( ω ) = − j s g n ( ω ) = ∣ H ( ω ) ∣ e j ϕ ( ω ) H(\omega)=-jsgn(\omega)\\ =\lvert H(\omega)\rvert e^{j\phi(\omega)} H(ω)=−jsgn(ω)=∣H(ω)∣ejϕ(ω) 或者写成 H ( ω ) = { − j ω ; 0 0 ω = 0 + j ω ; 0 H(\omega)= \left\{ \begin{array}{lcl} {-j} ;\omega;0\\ 0;\omega=0\\ {+j} ;\omega;0 \end{array} \right. H(ω)=⎩⎨⎧​−j0+j​ω>0ω=0ω0ω=0ω0ω=0ω2X(ω)X(0)0​ω>0ω=0ω