概率论中的独立性 |
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定义:
若A、B两个事件满足: P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B) 则A、B相互独立。 注意: P ( B ∣ A ) P(B|A) P(B∣A)是指A发生的条件下,B发生的概率; P ( B ) P(B) P(B)为B发生的概率,此二者是否相等? 如果 P ( B ∣ A ) = P ( B ) P(B|A)=P(B) P(B∣A)=P(B),则表明事件A对B无影响,即A和B是相互独立的。 例:抛硬币2次,设A为第一次出现正面,B为第二次出现正面的事件,则: P ( A ) = 1 2 P(A)=\frac{1}{2} P(A)=21 P ( B ) = 1 2 P(B)=\frac{1}{2} P(B)=21 P ( A B ) = 1 2 × 1 2 = 1 4 P(AB)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4} P(AB)=21×21=41(第一第二次都为正面的概率) 由条件概率公式: P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(AB) 得: P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) = 1 4 1 2 = 1 2 P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} P(A∣B)=P(B)P(AB)=2141=21 因为 P ( A ∣ B ) = P ( A ) P(A|B)=P(A) P(A∣B)=P(A),即在B发生的前提下A发生的概率等于A发生的概率,所以B对A没影响,也就是B与A没关系,相互独立。 总结: P ( A ∣ B ) P(A|B) P(A∣B)和 P ( A B ) P(AB) P(AB)的公式不一样,不要搞混,公式见上文。 |
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