已知参数待辨识系统模型为受控自回归滑动平均模型（CARMA）

其中：

del为延时，已知； n a n_a na​——A多项式的阶次，已知； n b n_b nb​——B多项式的阶次，已知； n c n_c nc​——C多项式的阶次，已知； u — — 501 ∗ 1 u——501*1 u——501∗1的输入数据向量，已知； y — — 501 ∗ 1 y——501*1 y——501∗1的输出数据向量，已知。 问题转化为在系统结构参数已知条件下，辨识系统参数与噪声参数。

由验前知识可知，需要辨识系统参数与噪声模型参数，于是采用增广递推最小二乘法（RELS） RELS收敛性分析 由验前知识可知，待辨识系统模型为受控自回归滑动平均模型，于是RELS法收敛到参数真值。 （1）RELS法辨识原理 将系统模型改写为:

其中：

x T ( k ) x^T (k) xT(k)中 ξ ( k − 1 ) , ⋯ ξ ( k − n c ) ξ(k-1),⋯ξ(k-n_c ) ξ(k−1),⋯ξ(k−nc​)是噪声项，未知，可用代替 ξ(k) 那么RELS的参数更新规则：

其中

（2）辨识框图

RELS的辨识流程框图，如图1。 其初始化包含系统已知参数输入，比如系统阶次，采样获得的输入输出数据、系统参数的估计初值、协方差矩阵初值、系统时滞等。 对于增益向量 K ( k ) K(k) K(k)、协方差矩阵 P ( k ) P(k) P(k)、辨识参数估计KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '̂' at position 3: θ ̲̂(k)、误差估计的计算按照辨识原理中的公式计算即可。 （3）辨识程序 %% RELS参数辨识程序

（4）辨识结果

那么辨识出系统模型为：

其中：

阶次未知的线性系统差分方程模型的参数辨识未给出待辨识系统模型的阶次与时滞参数，需要在进行系统参数辨识前首先辨识系统结构参数。 已知待辨识系统模型为受控自回归滑动平均模型（CARMA）

其中：

del为延时，未知； n a n_a na​——A多项式的阶次，未知； n b n_b nb​——B多项式的阶次，未知； n c n_c nc​——C多项式的阶次，未知； u — — 501 ∗ 1 u——501*1 u——501∗1的输入数据向量，已知； y — — 501 ∗ 1 y——501*1 y——501∗1的输出数据向量，已知。

（1）AIC准则确定结构参数 ( n a 、 n b 、 n c 、 d e l n_a、n_b、n_c、del na​、nb​、nc​、del) 在此假设前体条件， n a = n b = n c n_a= n_b= n_c na​=nb​=nc​ ，之后利用具体参数再去判断具体阶数。 采用了AIC信息准则（即Akaike information criterion），是用来衡量统计模型拟合优良性的一个标准，是由日本统计学家赤池弘次创立和发展的，因此也称为赤池信息量准则 。 在一般情况下，AIC可以表示为： A I C = 2 k − 2 l n ( L ) AIC=2k-2ln(L) AIC=2k−2ln(L) 其中：k是参数的数量，L是似然函数。 在有色噪声情况下，AIC计算公式为：

这里取定n从1到7，时滞del取值从0到6，去进行AIC计算。 （2）辨识程序 %% 法一：AIC准则就是先去假设阶次与时滞，利用假设阶次与时滞计算AIC，然后比较分析，找出AIC最小即可，则其对应的阶次与时滞即为所求参数，程序详见下载链接

（3）辨识结果

AIC准则的优点在于它是一个完全客观的准则，应用这个准则时，不需要建模人员主观地判断“陡峭地下降”，只需要利用程序找到最小地AIC即可，由上表可知，AIC最小为816，此时，模型阶次为4阶，时滞为2。

（1）按残差平方和辨识系统结构参数( n a 、 n b 、 n c n_a、n_b、n_c na​、nb​、nc​、del)

按上述公式计算在指定阶次n下的残差平方和，这里取n从1到7，时滞del取值从0到6。 首先，根据不同时滞下，残差平方和的走势图确定系统的时滞，如图3，根据a图可以确定当时滞del=0、1、2时，残差平方和较小，由于图的比例问题不能直观看出del。于是我进行局部方法，如图b，在del=0、1、2和n=3-7下绘制出残差平方和，很明显看到del=2时，残差平方和较小，于是确定系统时滞为2。

接下来，进行系统的定阶，采用了F检验准则的方法，其公式如下：

N=501，认为足够大，统计量t渐进地服从F（f1,f2）分布。取置信度 ，查F分布表：

因此定阶步骤： 当t>=3，说明n2较n1有明显改善，需要继续假设n3(n3>n2)，估计参数后，再去检验由n2到n3地t值是否小于3。 当t 3.09 ， t ( 4 , 5 ) < 3.09 t(3,4)>3.09，t(4,5)3.09，t(4,5)