数值计算方法第七章

2023-03-17 14:08| 来源: 网络整理| 查看: 265

常微分方程初值问题的数值解法

本文参考书为马东升著《数值计算方法》

引言

未知函数为一元函数的微分方程叫常微分方程，讨论一阶常微分方程的初值问题 {y′=f(x,y)y(x0)=y0\begin{cases}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases} {y′=f(x,y)y(x0)=y0

李普希兹条件 ∣f(x,y1)−f(x,y2)∣≤L∣y1−y2∣|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2| ∣f(x,y1)−f(x,y2)∣≤L∣y1−y2∣ 设 x0∈[a,b]x_0\in [\ a\ ,b\ ]x0∈[ a ,b ] ，f(x,y)f(x,y)f(x,y) 对 xxx 连续且关于 yyy 满足李普希兹条件，则对所有 x∈[a,b]x\in[\ a\ ,b\ ]x∈[ a ,b ] 及任何实数 y1y_1y1 和 y2y_2y2 均成立，则初值问题在区间 [a,b][\ a\ ,b\ ][ a ,b ] 上有唯一解欧拉法欧拉公式

过 P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0) 做曲线 y(x)y(x)y(x) 的切线 y′(x0)y'(x_0)y′(x0) 与直线 x=x1x=x_1x=x1 交于 P1(x1,y1)P_1(x_1,y_1)P1(x1,y1) ，用 y1y_1y1 作为 y(x)y(x)y(x) 上的点 y(x1)y(x_1)y(x1) 的近似值。然后过 P1(x1,y1)P_1(x_1,y_1)P1(x1,y1) 作切线，这样一直继续下去

欧拉公式导出 yn+1=yn+hf(xn,yn)y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n) yn+1=yn+hf(xn,yn) 其中 h=xn+1−xnh=x_{n+1}-x_nh=xn+1−xn

例：求解初值问题 {y′=y−2xy,0

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