解决内生性的主要方法之一为工具变量法，它对于实证研究有着重要的价值。

内生性的主要来源包括遗漏变量偏差、联立方程偏差（双向因果关系），以及测量误差偏差。 前者已在第9章讨论，下面首先介绍后二者。

市场均衡的例子引入 q t d = α + β p t + u t ( 需求 ) q t s = γ + δ p t + v t ( 供给 ) q t d = q t s ( 均衡 ) q_t^d=\alpha+\beta p_t+u_t(需求)\\q_t^s=\gamma+\delta p_t+v_t(供给)\\q_t^d=q_t^s(均衡) qtd​=α+βpt​+ut​(需求)qts​=γ+δpt​+vt​(供给)qtd​=qts​(均衡) 令 q t ≡ q t d = q t s q_t\equiv q_t^d=q_t^s qt​≡qtd​=qts​，得到 q t = α + β p t + u t q t = γ + δ p t + v t q_t=\alpha+\beta p_t+u_t\\q_t=\gamma+\delta p_t+v_t qt​=α+βpt​+ut​qt​=γ+δpt​+vt​ 这两个方程的被解释变量与解释变量完全不一样。 如果直接作回归 q t ⟶ O L S p t q_t\stackrel{OLS}{\longrightarrow}p_t qt​⟶OLS​pt​，估计的既不是需求函数也不是供给函数。

还是市场均衡的例子。假设供给曲线经常移动，而需求曲线基本不动。此时，就可以估计需求曲线，这个使得供给曲线移动的变量就是工具变量。

假设影响供给方程扰动项的因素可以分解为两部分，即可观测的气温 z t z_t zt​与不可观测的其他因素： q t s = γ + δ p t + η z t + v t q_t^s=\gamma+\delta p_t+\eta z_t+v_t qts​=γ+δpt​+ηzt​+vt​ 假设气温 z t z_t zt​是前定变量，与需求方程的扰动项不相关，即 C o v ( z t , u t ) = 0 Cov(z_t,u_t)=0 Cov(zt​,ut​)=0 由于气温 z t z_t zt​的变化使得供给函数 q t s q_t^s qts​沿着需求函数 q t d q_t^d qtd​移动，故可以估计出需求函数 q t d q_t^d qtd​。在这种情况下，称 z t z_t zt​为“工具变量”（Instrumental Variable ，IV）

在回归方程中，一个有效的工具变量应满足以下两个条件。 （1）相关性：工具变量与内生解释变量相关，即 C o v ( z t , p t ) ≠ 0 Cov(z_t,p_t) \neq0 Cov(zt​,pt​)=0 （2）外生性：工具变量与扰动项不相关，即 C o v ( z t , u t ) = 0 Cov(z_t,u_t) =0 Cov(zt​,ut​)=0

利用工具变量的这两个性质，可得到对需求方程回归系数 β \beta β的一致估计。

工具变量法一般通过"二阶段最小二乘法"(Two Stage Least Square,2SLS或TSLS)来实现，通过两个回归来完成。

第一阶段回归：用内生解释变量对工具变量回归，即 p t ⟶ O L S z t p_t\stackrel{OLS}{\longrightarrow}z_t pt​⟶OLS​zt​，得到拟合值 p ^ t \hat p_t p^​t​ 第二阶段回归：用被解释变量对第一阶段回归的拟合值进行回归，即 q t ⟶ O L S p ^ t q_t\stackrel{OLS}{\longrightarrow}\hat p_t qt​⟶OLS​p^​t​

在进行2SLS估计时，最好不要自己手工进行两次回归，而直接使用Stata命令（相信Stata会计算正确的残差！）。

2SLS的Stata命令格式为 ivregress 2sls y x1 x2 (x3=z1 z2),robust first y：被解释变量 x1 x2：外生解释变量 x3：内生解释变量 z1 z2：方程外的工具变量 选择项 robust：表示使用异方差稳健的标准误（默认为普通标准误） 选择项 first：表示显示第一阶段的回归结果

可以证明，在球形扰动项的情况下，2SLS是最有效率的工具变量法。 然而，在异方差的情况下，则存在更有效率的工具变量法，即“广义矩估计”（Generalized Method of Moments，GMM），是数理统计中“矩估计”（Method of Moments，MM）的推广。

如果工具与内生解释变量仅微弱地相关，则工具变量法估计量 β ^ I V \hat\beta_{IV} β^​IV​的方差将变得很大。 由于工具变量仅包含极少与内生解释变量有关的信息，利用这部分信息进行的工具变量法估计就不准确，即使样本容量很大也很难收敛到真实的参数值，这种工具变量称为“弱工具变量”。

怎么检验是否存在弱工具变量？？？

在第一阶段回归中，检验所有方程外的工具变量（不含外生解释变量）的系数是否联合为零。 假设原模型为： y = β 0 + β 1 x + β 2 w + ε y=\beta_0+\beta_1x+\beta_2w+\varepsilon y=β0​+β1​x+β2​w+ε x x x为内生变量，而 w w w为外生解释变量。 假设有两个有效工具变量 z 1 , z 2 z_1,z_2 z1​,z2​，则第一阶段回归为： x = α 0 + α 1 z 1 + α 2 z 2 + α 3 w + u x=\alpha_0+\alpha_1z_1+\alpha_2z_2+\alpha_3w+u x=α0​+α1​z1​+α2​z2​+α3​w+u 检验 H 0 : α 1 = α 2 = 0 H_0:\alpha_1=\alpha_2=0 H0​:α1​=α2​=0，即工具变量 z 1 , z 2 z_1,z_2 z1​,z2​的系数联合为0。 经验规则：此检验的 F F F统计量大于 10 (由于技术性原因，此处使用普通标准误)，则拒绝“存在弱工具变量”的原假设。

在Stata中作完2SLS回归后，可使用以下命令检验弱工具变量： estat firststage 此命令将更具第一阶段回归计算一些统计量，包括上文的 F F F统计量。

发现存在弱工具变量，如何解决？？？ （1）寻找更强的工具变量 （2）使用对弱工具变量更不敏感的“优先信息最大似然估计法”（Limited Information Maximum Likelihood Estimation，LIML） 在大样本下，LIML与2SLS渐进等价 在弱工具变量情况下，LIML的小样本性质可能由于2SLS

LIML的Stata命令为 ivregress liml y x1 x2 (x3=z1 z2)

工具变量的外生性是保证 2SLS 一致性的重要条件。 如果“工具变量”与扰动项相关，可导致严重的偏差。

在Stata中作完2SLS估计后，可使用以下命令进行过度识别检验 estat overid

使用工具变量法的前提是存在内生解释变量。

如何检验解释变量是否内生？？？

豪斯曼检验的Stata命令为

传统的豪斯曼检验的缺点是，为了简化矩阵 [ V a r ( β ^ I V − β ^ O L S ) ^ ] [\widehat{Var(\hat\beta_{IV}-\hat\beta_{OLS})}] [Var(β^​IV​−β^​OLS​) ​]的计算，假设在 H 0 H_0 H0​成立的情况下，OLS最有效率，故不使用异方差的情形（OLS只有在球形扰动项的情况下才最有效率）。

改进的“杜宾-吴-豪斯曼检验”（DWH）即使在异方差的情况下也适用。