笔记来自清风老师的数学建模系列课程，课程链接：层次分析法

层次分析法例题，IMMC2020 https://blog.csdn.net/yanyanwenmeng/article/details/104907412

（1）题目背景

（2）中国知网、百度学术、谷歌学术等地方搜索相关文献，查找指标

（3）搜索网站推荐：虫部落https://search.chongbuluo.com/

（4）其他搜索途径，优先级：谷歌搜索、微信搜索、知乎搜索

指标选择一定要有依据，并且要说明为什么要选这些指标以及指标代表的含义。

比如要确定景色、花费等五个指标的权重，该如何确定呢？

如果一次性考虑五个指标的关系，往往考虑不周

【解决办法】两个两个指标之间进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重。——层次分析法的思想

比如：如果花费比景色略微重要，则左下角单位格可以填2。

同理可以得到全部的判断矩阵：

 【注意】层次分析法的判断矩阵（上面这张表）实际需要给专家填写。

一致矩阵需要满足下面的关系：

比如红色框的内容和黄色框的内容是成2倍的关系的。按照两列之间对比也是成倍数的关系。

【注意】 不一定要达到绝对的一致矩阵，只需要一致性不要偏差太大，不然矛盾很多，我们填写的判断矩阵就没有任何意义了。

如何判断一致性偏差是否在允许接受的范围内呢？——一致性检验

【原理】检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别。

下面是两个一致矩阵：

满足一致矩阵的充要条件：

黄色框表示第2、3……n行的值和第一行成倍数关系（也可以定义为列与列之间成比例）。

秩的解释：https://www.zhihu.com/question/21605094

https://blog.csdn.net/edward_zcl/article/details/90177159

总结：秩相当于解方程组时有用的方程数。

特征值的解释：matlab编程基础——基于层次分析法

 比如第一个表格求最大特征值matlab代码：

发现最大特征值为3。

当矩阵不一致时：

 （黄色框为最大特征值）发现最大特征值是大于3的。即最大特征值>n,且判断矩阵越不一致时，最大特征值与n相差越大。

【注意】当一致性检验通过后才可计算权重，如果一致性检验通不过，则需要重新调整判断矩阵。

也可以按照第二列或者第三列的数据进行计算。权重计算完后需要归一化处理。

由于判断矩阵不一定为一致矩阵，所以它的各行（列）之间不一定成比例，因此，计算权重时需要利用每一列的数据把权重计算出来，最后利用三种方法求权重即可。

比如下面这个判断矩阵（不是一致矩阵，因为各行不成比例）

计算出每一列的权重：

 数学公式：

几何平均法求权重也有三步：

第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量

景色

苏杭

北戴河

桂林

按行相乘

苏杭

1

2

5

1*2*5=10

北戴河

1/2

1

2

1/2*1*2=1

桂林

1/5

1/2

1

1/5*1/2*1=1/10

第二步：将新的向量的每个分量开n次方 

景色

苏杭

北戴河

桂林

按行相乘

开3次方

苏杭

1

2

5

10

10^(1/3)=2.1544

北戴河

1/2

1

2

1

1^(1/3)=1

桂林

1/5

1/2

1

1/10

(1/10)^(1/3)=0.4642

第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量 

景色

苏杭

北戴河

桂林

按行相乘

开3次方

归一化

苏杭

1

2

5

10

2.1544

0.5954

北戴河

1/2

1

2

1

1

0.2764

桂林

1/5

1/2

1

1/10

0.4642

0.1283

sum=10^(1/3)+1^(1/3)+(1/10)^(1/3)

10^(1/3)/sum= 0.5954    1^(1/3)/sum=0.2764    (1/10)^(1/3)/sum=0.1283

一致矩阵求权重

 判断矩阵求权重

 matlab求解：

最大特征值为3.0055，对应的特征向量为[-0.8902 -0.4132 -0.1918]

计算步骤：

CR = 0.0053 < 0.1  ,说明此矩阵的一致性可以接受。

求权重：

 excel中进行计算每个城市的得分（需要用“$”符号锁定单元格）：