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02:25\\\\\\\\\\\\\\\\r\\\\\\\\\\\\\\\\n15比特DAC输出公式
01 R2R电阻DAC
一、前言
今天上午对 8比特 电阻DAC输出公式进行了推导， 由此计算出 单片机 IO 口内阻对 DAC线性精度的影响。 现在正好还有点时间， 就耐下心来 ， 最终求出 15比特 DAC 输出电压的解析公式， 验证 单片机IO内阻对于DAC的影响是否和 通道数有关系。
二、推导过程
生成DAC理论公式还是使用上午的 LCA 软件包， 只是将器电路结构增加到 15个通道。 这是LCA 绘制的R2R 电阻DAC的电路图。 之后， 它生成了最后电路的输出的解析表达式。 这个求解过程计算机消耗了 10分钟左右。
#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
#============================================================
# TEST1.PY -- by Dr. ZhuoQing 2024-04-03
#
# Note:
#============================================================
from headm import *
from sympy import symbols,simplify,expand,print_latex
from sympy import *
from lcapy import *
from sympy import symbols,simplify,expand,print_latex
from sympy import *
#------------------------------------------------------------
cct = Circuit("""
V1 1_0 0_1 dc V1 ; down
W0 0 0_1 ; right
R01 0 0_0 R2 ; up
R11 1_0 1 R2 ; up
W00 1 0_0 ; left
R12 1 2 R1 ; right
W1 0_1 0_2 ; right
V2 2_0 0_2 dc V2 ; down
R21 2_0 2 R2 ; up
R22 2 3 R1 ; right
W2 0_2 0_3 ; right
V3 3_0 0_3 dc V3 ; down
R31 3_0 3 R2 ; up
R32 3 4 R1 ; right
W3 0_3 0_4 ; right
V4 4_0 0_4 dc V4 ; down
R41 4_0 4 R2 ; up
R42 4 5 R1 ; right
W4 0_4 0_5 ; right
V5 5_0 0_5 dc V5 ; down
R51 5_0 5 R2 ; up
R52 5 6 R1 ; right
W5 0_5 0_6 ; right
V6 6_0 0_6 dc V6 ; down
R61 6_0 6 R2 ; up
R62 6 7 R1 ; right
W6 0_6 0_7 ; right
V7 7_0 0_7 dc V7 ; down
R71 7_0 7 R2 ; up
R72 7 8 R1 ; right
W7 0_7 0_8 ; right
V8 8_0 0_8 dc V8 ; down
R81 8_0 8 R2 ; up
R82 8 9 R1 ; right
W8 0_8 0_9 ; right
V9 9_0 0_9 dc V9 ; down
R91 9_0 9 R2 ; up
R92 9 10 R1 ; right
W9 0_9 0_10 ; right
V10 10_0 0_10 dc V10 ; down
R101 10_0 10 R2 ; up
R102 10 11 R1 ; right
W10 0_10 0_11 ; right
V11 11_0 0_11 dc V11 ; down
R111 11_0 11 R2 ; up
R112 11 12 R1 ; right
W11 0_11 0_12 ; right
V12 12_0 0_12 dc V12 ; down
R121 12_0 12 R2 ; up
R122 12 13 R1 ; right
W12 0_12 0_13 ; right
V13 13_0 0_13 dc V13 ; down
R131 13_0 13 R2 ; up
R132 13 14 R1 ; right
W13 0_13 0_14 ; right
V14 14_0 0_14 dc V14 ; down
R141 14_0 14 R2 ; up
R142 14 15 R1 ; right
W14 0_14 0_15 ; right
V15 15_0 0_15 dc V15 ; down
R151 15_0 15 R2 ; up
""")
#------------------------------------------------------------
import pyautogui
schfn = r'd:\temp\cct.png'
cct.draw(schfn)
rect = tspgetwindowrect(schfn.split('\\')[-1])
pyautogui.FAILSAFE = False
if sum(rect) != 0:
pyautogui.click(rect[2]-30, rect[1]+15)
os.startfile(schfn)
printf('\a')
tspfocuswindow("TEASOFT:3")
#------------------------------------------------------------
result = cct[15].V(t)
printf(result)
exit()
#------------------------------------------------------------
mstr = latex(result)
printf(mstr)
_=tspexecutepythoncmd("msg2latex")
#------------------------------------------------------------
# END OF FILE : TEST1.PY
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▲ 图1.2.1 15bitDAC结构
将 LCA推导出 输出电压的公式， 转换成了 Python 程序。 这样可以计算出在不同的 DAC 数值情况下， 电阻网络的输出。 可以看到， 在 R1,R2分别为 10k，20k欧姆的情况下， 输出电压与DAC 数值之间呈现严格的线性关系。 这是输出电压与DAC理论值之间的误差， 除了因为计算机浮点精度所引起的微小误差之外， 公式搜得到的数值与理论值是相同的。
#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
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# TEST3.PY -- by Dr. ZhuoQing 2024-04-03
#
# Note:
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from headm import *
def Dr1r2(R1,R2):
return 2*R1**14 + 55*R1**13*R2 + 676*R1**12*R2**2 + 4900*R1**11*R2**3 + 23276*R1**10*R2**4 +\
76153*R1**9*R2**5 + 175560*R1**8*R2**6 + 286824*R1**7*R2**7 + 329460*R1**6*R2**8 +\
260338*R1**5*R2**9 + 136136*R1**4*R2**10 + 44200*R1**3*R2**11 + 8008*R1**2*R2**12 + 665*R1*R2**13 + 16*R2**14
def N1(R1,R2):
return R2**14
def N10(R1,R2):
return (2*R1**9*R2**5 + 33*R1**8*R2**6 + 225*R1**7*R2**7 + 819*R1**6*R2**8 + 1716*R1**5*R2**9 +
2079*R1**4*R2**10 + 1386*R1**3*R2**11 + 450*R1**2*R2**12 + 54*R1*R2**13 + R2**14)
def N11(R1,R2):
return (2*R1**10*R2**4 + 37*R1**9*R2**5 + 289*R1**8*R2**6 + 1240*R1**7*R2**7 + 3185*R1**6*R2**8 +
5005*R1**5*R2**9 + 4719*R1**4*R2**10 + 2508*R1**3*R2**11 + 660*R1**2*R2**12 + 65*R1*R2**13 + R2**14)
def N12(R1,R2):
return (2*R1**11*R2**3 + 41*R1**10*R2**4 + 361*R1**9*R2**5 + 1785*R1**8*R2**6 + 5440*R1**7*R2**7 +
10556*R1**6*R2**8 + 13013*R1**5*R2**9 + 9867*R1**4*R2**10 + 4290*R1**3*R2**11 + 935*R1**2*R2**12 + 77*R1*R2**13 + R2**14)
def N13(R1,R2):
return (2*R1**12*R2**2 + 45*R1**11*R2**3 + 441*R1**10*R2**4 + 2470*R1**9*R2**5 + 8721*R1**8*R2**6 +
20196*R1**7*R2**7 + 30940*R1**6*R2**8 + 30888*R1**5*R2**9 + 19305*R1**4*R2**10 + 7007*R1**3*R2**11 +
1287*R1**2*R2**12 + 90*R1*R2**13 + R2**14)
def N14(R1,R2):
return (2*R1**13*R2 + 49*R1**12*R2**2 + 529*R1**11*R2**3 + 3311*R1**10*R2**4 + 13300*R1**9*R2**5 +
35853*R1**8*R2**6 + 65892*R1**7*R2**7 + 82212*R1**6*R2**8 + 68068*R1**5*R2**9 + 35750*R1**4*R2**10 +
11011*R1**3*R2**11 + 1729*R1**2*R2**12 + 104*R1*R2**13 + R2**14)
def N15(R1,R2):
return (2*R1**14 + 53*R1**13*R2 + 625*R1**12*R2**2 + 4324*R1**11*R2**3 + 19481*R1**10*R2**4 + 59983*R1**9*R2**5 +
128877*R1**8*R2**6 + 193800*R1**7*R2**7 + 201552*R1**6*R2**8 + 140998*R1**5*R2**9 + 63206*R1**4*R2**10 +
16744*R1**3*R2**11 + 2275*R1**2*R2**12 + 119*R1*R2**13 + R2**14)
def N2(R1,R2):
return (2*R1*R2**13 + R2**14)
def N3(R1,R2):
return (2*R1**2*R2**12 + 5*R1*R2**13 + R2**14)
def N4(R1,R2):
return (2*R1**3*R2**11 + 9*R1**2*R2**12 + 9*R1*R2**13 + R2**14)
def N5(R1,R2):
return (2*R1**4*R2**10 + 13*R1**3*R2**11 + 25*R1**2*R2**12 + 14*R1*R2**13 + R2**14)
def N6(R1,R2):
return (2*R1**5*R2**9 + 17*R1**4*R2**10 + 49*R1**3*R2**11 + 55*R1**2*R2**12 + 20*R1*R2**13 + R2**14)
def N7(R1,R2):
return (2*R1**6*R2**8 + 21*R1**5*R2**9 + 81*R1**4*R2**10 + 140*R1**3*R2**11 + 105*R1**2*R2**12 + 27*R1*R2**13 + R2**14)
def N8(R1,R2):
return (2*R1**7*R2**7 + 25*R1**6*R2**8 + 121*R1**5*R2**9 + 285*R1**4*R2**10 + 336*R1**3*R2**11 +
182*R1**2*R2**12 + 35*R1*R2**13 + R2**14)
def N9(R1,R2):
return (2*R1**8*R2**6 + 29*R1**7*R2**7 + 169*R1**6*R2**8 + 506*R1**5*R2**9 + 825*R1**4*R2**10 + 714*R1**3*R2**11 +
294*R1**2*R2**12 + 44*R1*R2**13 + R2**14)
#------------------------------------------------------------
def DAC15(number, r1, r2):
D = Dr1r2(r1,r2)
Ndim = [N15(r1,r2), N14(r1,r2), N13(r1,r2),
N12(r1,r2), N11(r1,r2),
N10(r1,r2), N9(r1,r2),
N8(r1,r2), N7(r1,r2), N6(r1,r2),
N5(r1,r2), N4(r1,r2), N3(r1,r2),
N2(r1,r2), N1(r1,r2)]
nstr = bin(number)[2:]
nstr = '0'*(15-len(nstr)) + nstr
number = [int(s)*n/D for s,n in zip(nstr, Ndim)]
return sum(number)
#------------------------------------------------------------
r1 = 10e3
r2 = 20e3+50
v = DAC15(0x8000, r1, r2)
Vmax = 3.3
ddim = arange(0, 0x7fff, 0x10)
vdim = [DAC15(d,r1,r2)*Vmax for d in ddim]
odim = [d*Vmax/0x8000 for d in ddim]
edim = [v1-v2 for v1,v2 in zip(vdim, odim)]
plt.plot(ddim, edim, lw=3)
plt.xlabel("DAC(N)")
plt.ylabel("Voltage(V)")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
#------------------------------------------------------------
printf("\a")
#------------------------------------------------------------
# END OF FILE : TEST3.PY
#============================================================
这是将R2增加了50欧姆， 模拟单片机IO口输出电阻， 计算出DAC输出的误差。 可以看到这个误差的封装还是 13mV左右， 与上午 8 通道对应的误差是一样的。 这说明 单片机 IO 口的电阻所引起的线性误差的绝对值和通道数量是没有关系的。 
▲ 图1.2.2 将 R2增加50欧之后， 输出线性误差
※ 总 结 ※
本文对 15 比特 电阻DAC 输出电压表达式进行了推导， 通过对 R2电阻增加 50欧姆， 计算出 DAC 的输出误差， 验证了 R2R 电阻网络受到 单片机IO口输出电阻的影响。 误差的大小和通道数没有关系。 这里仿真Python 程序和数据可以在 CSDN 文章中找到。 这为之后对 电阻DAC进一步的理论分析打下了基础。 
● 相关图表链接:
图1.2.1 15bitDAC结构图1.2.2 将 R2增加50欧之后， 输出线性误差
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