扩展欧几里德算法详解（通解推导过程） |
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先介绍什么叫做欧几里德算法（辗转相除法） 有两个数 a b，现在，我们要求 a b 的最大公约数，怎么求？枚举他们的因子？不现实，当 a b 很大的时候，枚举显得那么的naïve ，那怎么做？ 欧几里德有个十分又用的定理： gcd(a, b) = gcd(b , a%b) ，这样，我们就可以在几乎是 log 的时间复杂度里求解出来 a 和 b 的最大公约数了，这就是欧几里德算法，用 C++ 语言描述如下： #include #include #include using namespace std; int gcd(int a,int b) { if(b==0)return a; else gcd(b,(a%b)); } int main() { int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); printf("gcd=%d\n",gcd(n,m)); printf("lcm=%d\n",n*m/gcd(n,m)); return 0; }
由于是用递归写的，所以看起来很简洁，也很好记忆。那么什么是扩展欧几里德呢？ 现在我们知道了 a 和 b 的最大公约数是 gcd ，那么，我们一定能够找到这样的 x 和 y ，使得: a*x + b*y = gcd 这是一个不定方程（其实是一种丢番图方程），有多解是一定的，但是只要我们找到一组特殊的解 x0 和 y0 那么，我们就可以用 x0 和 y0 表示出整个不定方程的通解： x = x0 + (b/gcd)*t y = y0 – (a/gcd)*t 通解推导过程： ax + by = gcd(a,b) ① ax0 + by0 = gcd(a,b) ② ①﹣②:a(x-x0)+b(y-y0)=0 a(x-x0)=b(y0-y) 将两边同除以gcd(a,b),得 a/gcd(a,b)与b/gcd(a,b)互质， 所以 a/gcd(a,b)（x-x0）=b/gcd(a,b)（y0-y） 所以 x-x0=b/gcd(a,b) *t；y0-y=a/gcd(a,b)*t 所以 x=x0+b/gcd(a,b)*t y=y0-a/gcd(a,b)*t
扩展欧几里德算法的全部过程，依然用递归写 int gcd(int a,int b) { int t,d; if(b==0) { x=1; y=0; //不明处1 return a; } d=gcd(b,a%b); t=x; x=y; y=t-(a/b)*y; //不明处2 return d; } 上面的程序中,x和y我是用全局变量保存的 我个人觉得第一次看到这个程序你会有以上两个不明白的地方（见注释），下面我分别解释 不明处1：由扩展欧几里得定理：ax+by==gcd(a,b)---式1，而此时b==0，也就是说gcd(a,0)==a。原式变为ax+by==a --> x==1,y==0。应该够清楚了吧 不明处2：这里先说明一下我的一些规则，x,y表示第一次递归时的值，x1,y1表示第二次递归时的值。那么 gcd(a,b)==gcd(b,a%b)，同时都代入式1，有ax+by==b*x1+(a%b)*y1。将右边变形一下 b*x1+(a%b)*y1==b*x1+(a-(a/b)*b)*y1==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)，最终得到ax+by==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1) 也就是说，上一深度的x等于下一深度的y1，上一深度的y等于下一深度的x1-(a/b)*y1。 需要注意，上面推导时用的除法都是整型除法
到这里为止，我们便得到了不定式ax+by==gcd(a,b)的一组解，x、y。 那么对于一般的不定式ax+by==c，它的解应该是什么呢。很简单，x1=x*(c/gcd(a,b)),y1=y*(c/gcd(a,b))。
依然很简短，相比欧几里德算法，只是多加了几个语句而已。 这就是理论部分，欧几里德算法部分我们好像只能用来求解最大公约数，但是扩展欧几里德算法就不同了，我们既可以求出最大公约数，还可以顺带求解出使得： a*x + b*y = gcd 的通解 x 和 y 扩展欧几里德有什么用处呢？ 扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面： （1）求解不定方程； （2）求解模线性方程（线性同余方程）； （3）求解模的逆元； （1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法： 对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。 上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足： p = p0 + b/Gcd(p, q) * t q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数) 至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。 在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))， p * a+q * b = c的其他整数解满足： p = p1 + b/Gcd(a, b) * t q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数) p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。 相关证明可参考：http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html 用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c; 代码如下： bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y) { int d=exgcd(a,b,x,y); if(c%d) return false; int k=c/d; x*=k; y*=k; //求得的只是其中一组解 return true; } (2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法： 同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。 求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数) 设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b，则方程 a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。 所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。 ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。 设ans=x*(b/d),s=n/d; 方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s; 相关证明： 证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n; 由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n) a*x0 = d (b/d) (mod n) (由于 ax' = d (mod n)) = b (mod n) 证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d) (mod n); 由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n) = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n) = a * x0 (mod n) (由于 d | a) = b 首先看一个简单的例子： 5x=4(mod3) 解得x = 2,5,8,11,14....... 由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3. 那么这个解的间隔是怎么决定的呢？ 如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了. 我们设解之间的间隔为dx. 那么有 a*x = b(mod n); a*(x+dx) = b(mod n); 两式相减，得到: a*dx(mod n)= 0; 也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的. 设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d. 即a*dx = a*n/d; 所以dx = n/d. 因此解之间的间隔就求出来了. 代码如下： bool modular_linear_equation(int a,int b,int n) { int x,y,x0,i; int d=exgcd(a,n,x,y); if(b%d) return false; x0=x*(b/d)%n; //特解 for(i=1;i |
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