Papert在《因计算机而强大》这本书中数次谈到关于“调试与试错”的内容，那么，如何在一堂课中，去实践这个教育理念呢？

我们不妨先看看现有的编程语言的教材是如何处理的，例如，下面这个在Python中绘制彩色螺旋线的课例。

在传统编程课堂中，这部分的内容主要是为了学习语言本身的知识而设置的，比如turtle库函数的使用、列表与颜色、循环等。学习者通过编写并调试程序的方式进行学习，以成功绘制出彩色螺旋线作为结束。这里面调试更多的是语法和拼写的内容。

接下来，我们将重构这节课程的内容。

第一部分：绘制多边形

首先，在图形化编程平台中，如何绘制一条直线呢？

这是比较容易理解的，我们将从这三块积木出发，从绘制一条直线出发，建构整个课程。

如何展示直线绘制的过程呢？

思路：只需要把“移动200步”这个过程细化即可；

程序：

(这里为了更好的显示效果，调整了画笔的粗细)

那么，如何绘制一个正方形呢？

思路：可以通过身体在地面上走出一个正方形的方式来探究绘制过程，发现需要利用“旋转xx度”这个积木；

程序：

能否简化上述程序？

思路：利用重复执行；

程序：

程序中的参数分别表示的含义是什么？

“5”表示画笔的粗细程度，数字越大，画笔越粗；

重复执行中的次数“4”，表示的是边的数目；

移动步数中的“200”，表示的边长，控制的是图形的大小；

旋转度数中的“90”，表示旋转的度数，控制的是图形的样子；

那么，如何绘制一个正三角形呢？

思路：首先因为三角形有三条边，因此需要将重复执行的次数改为“3”次；其次，因为正三角形的内角均为60°，因此需要将旋转的度数改为“60”；

程序：

发现问题，为什么不是正三角形呢？如何修正？

思路：再一次通过身体走出一个正三角形的方式来探究，发现旋转60°是不够的，旋转的角度实际上是图形的外角，回忆内角和外角的互补关系；

修正：将旋转度数更换为120，尝试；

程序：

成功！

那么，如何绘制一个正六边形呢？

思路：先计算正六边形的内角，再通过内角和外角的关系得出外角的度数；或者，回忆刚才绘制三角形失败的例子，当时的图形隐约是正六边形的一半，当时的旋转度数为60°；因此，将重复执行的次数改为“6”次，将旋转的度数改为“60”；

程序：

那么，如何绘制一个正五边形呢？

思路：仍然是通过计算的方式进行，这是可行的。可是，如果学生并不会计算，怎么办？

思路：别忘记，我们仍然有通过身体走出一个正五边形的探究方式，只不过这次需要提示学生，当他回到起点的时候，一共转了多少度？

学生可能会说转了一圈。此时接着问学生，那么让身体分别走出一个正三边形、正四边形、正六边形时，当回到起点时，一共转了多少度？学生将会发现，虽然图形不同，但是都转了一整圈(不论学生是否学过正多边形的外角和始终是360°，都不影响后面的进程安排)，先来验证一下。

上述三种情况，重复执行的次数与旋转度数的乘积，的确都是360°，这是一个关系。

重新描述关系：正n边形有n个内角和n个外角，n个外角均是相等的，外角的度数*n=360；

因此，程序可以调整为：

方框里面的数字需要保持一致，因此每次绘制正n边形的时候，只需要换一下这个数字就可以；

验证：重新验证n=3、n=4，n=6的情形，是否能得到之前的图形！

验证过程略。

猜想：将n=5代入这个模型中，就能得到正五边形。

程序：

成功！

那么，如何绘制正七边形、正八边形，正十边形呢？以及正二十边形、正三十边形呢？

思路：只需要将相应的数字更换为7、8、10、20、30即可。

程序：

奇怪，为什么看不到正二十边形呢？

思路：在上图中，只能看到二十条边中的四条，可能是太大了。再次回忆三个参数所表示的含义。

猜测：也许是因为“移动200步”中的200太大了，因为它控制图形的大小，把它改小一些试试，分别试试150、100、50；

程序：

成功！

学生发现，这很像是一个圆。

那么，是不是边数越大，就越像一个圆呢？

尝试：正三十边形，正四十边形，正一百边形……

成功！

小结：已有一些教学设计完成上述的教学过程，继而引出通过正多边形来近似圆的方法，也就是割圆术。

我们不妨重新梳理一下，学生在上述过程中可能获得的：

1、通过身体画图的方法；

2、展现绘制直线的过程；

3、明确基本模型的三个参数的意义；

4、在多边形的绘制中，旋转的其实是外角的度数；

5、内角与外角的互补关系；

6、“归纳——猜测——验证——修正——验证”的基本方法论；

7、任意正多边形的外角和等于360°；

8、可以通过正多边形来近似圆；

9、如果图形太大了，就需要将边长调小一些，调整的方式是不断尝试；

第二部分：绘制五角星

那么，如何绘制一个正五角星呢？

思路：不难发现，无法沿用之前绘制正多边形的模型了，需要调整。似乎无头绪，别急，我们需要“不厌其烦”地再次回忆模型三个参数的意义。

重复执行中的次数，表示图形的边数；

移动的步数，表示边长，控制图形的大小；

旋转的度数，其实控制的是图形的样子；

思路：五角星一共有5条边，因此重复执行的次数是5次，移动步数并不影响图形本身，可以暂时不用调整，那么问题的核心就在于五角星旋转的度数是多少？

明确：需要知晓五角星的外角度数。

怎么办？尤其是学生还没有学习过平行、内错角等概念的时候。

帮助学生回忆，之前在图形过大无法看清全貌时，调整边长的过程。其实并不是一次就能调整合适的，是经过不断的尝试，且每次尝试的数字都在上一次尝试的结果之上进行修正的。

那么，能否借鉴这个方法找到五角星的外角度数呢？

方法：试错法。

先试试130

观察：似乎有一点五角星的样子，但是有两条线并没有“合”在一起，再试试150。

观察：似乎刚才的那两条直线又“过”了一点，也许我应该尝试130到150之间的数字，试试140。

观察：140的时候要比130好一些，那么应该尝试140到150之间的数字……

不断重复这个过程，缩小可能范围，直到找到144。

(如果有学生观察到，这其实是一个倒过来的五角星，并且表示想绘制头朝上五角星，怎么办？如何引导学生？)

小结：对于无法通过计算的方式求出旋转度数的学生而言，怎么办？这里，我们引导学生使用了一种非常基本但强有力的方法——试错法，通过不断的尝试，找到最终的答案。

这其实是在鼓励学生“犯错”……当然，我们在这里需要明确的一点是，鼓励学生通过“试错”方式进行学习的同时，还需要强调要学会“犯"那些有价值的错误——即，尽可能减少尝试的次数。

第三部分：向错误学习

有一位同学举手，“我觉得应该是145”。这是怎么回事？我们先来看看他的程序。

程序：

学生表示，老师，虽然我的五角星小，但是也是对的啊(这个过程绝对是设计不来的)。

到底是144还是145呢？如何验证？

分析：首先应该明确，最终答案肯定不会是两个，只能有一个——也可以通过把正三边形中的120°改为119°或者121°试试，让学生们有一个直观感受，在旋转度数多一度或者少一度的情况下，图形不是没有闭合就是过了一点。那么如何检查上图的闭合情况呢？

这个图形有点小，看不清楚。那么，太小了看不清楚，怎么办？还记得之前太大了看不到全部图形的时候，我们是怎么处理的吗？

回忆：太大了看不到，于是缩小点；现在太小了看不清楚，应该放大点。

调整后的程序：

放大后，我们就能清晰的看到，确实是有点过了。因此，答案应该是144。

也许在正常的教学过程中，把145改为144后这部分就结束了，而145也会被贴上错误答案的标签。而我们并不会止步于此，我们将由此开启向错误学习之路。

回忆：我们前面在画图的时候，都是先给出图形，然后让学生们绘制。因为图形是确定的，因此边数也是确定的，故而只需要计算或者找出旋转的角度即可完成图形的绘制过程。特别地，对于正多边形而言，我们还发现了(或使用了)“正多边形外角和等于360°”这个数学结论。这也就是说，任意给一个图形，就同时对应一个边数和外角度数。

那么，145°既然不是五角星的外角，那它是哪一个图形的外角呢？

思路：不知道，怎么办？用试错法啊！这一次该试哪个值了？没错，需要调整的是边数，也就是重复执行的次数。

6条边时

10条边时

50条边时

依然不是，还得继续试。

等等，先别着急往后面试了。这个图形还挺好看的，我们欣赏一会！这是一个意外的收获！

如何绘制这个图形呢？如果从正向分析，还真的无从下手。我们不妨来分析一下，这个图形是怎么得到的？如果把145改回144，虽然也重复执行了150次，可是结果依然只有一个五角星，为什么1°的误差会对结果造成这么大的差异呢？

每次误差1°，随着重复执行的次数越多，这个误差也就被累积的越多。然而，没有想到是，这些误差居然这样美丽！

那么，如果边长存在一个“人为”误差，并且经过放大后，会发生什么呢？

分析：边长只会决定图形的大小，但是形状本身是没有影响的，因此任何一个数字都无法称其为“误差”。想要累加误差，还得另想办法。之前旋转的角度是每次多旋转1°，那么现在能不能每条边的长度都多一点呢？这个可以通过变量来实现。

程序：

这里强调一下，在每一次编完程序之后，先不要着急点击开始，先让学生们猜测会有什么样的结果，然后再点击开始进行验证。然后，不断重复这个过程，这个过程非常必要！

之前的图形，是因为“小误差”被积累了很多。因此，需要更多的积累。

和你点击开始之前的猜测一致吗？

再来看看当原始图形为六边形的时候，每次一点误差，会被积累成什么样子？

还挺像迷宫的。

那么，如果同时累积边长的误差和旋转的误差，会如何呢？

这又是一个意外的收获！美丽的图形！

在这个框架下，调整其他的参数试试看，是否还会得到意外的收获吗？

以及

以及

你还能画出更多美丽的意料之外的图形吗？

小结：上述过程完全是通过一个细小的错误出发，通过好奇心引发的探究活动。如果说前半段内容的核心是试错法的使用的话，那么后半段的内容完全可以归结为“向错误学习”！

我们不妨重新梳理一下，学生在上述过程中可能获得的：

1、重新回到基本模型的三个参数的意义；

2、通过试错法找到五角星的外角度数；

3、学会“犯”有价值的错误；

4、如果图形太小了，就需要将边长放大一些；

5、建立图形边数与外角之间的关系，通过外角反向寻找边数；

6、分析出美丽的意外图形是因为误差的不断积累导致的；

7、人为引发误差，并将误差放大；

8、同种将边长的误差与外角的误差组合起来，进行放大；

9、通过试不同的参数，得到更多美丽的图形；

10、任何程序，都先猜测，再去验证；

第四部分：能力迁移

上述内容已经构成一个完整的课例，综合考虑篇幅等各种因素，我们将在下一篇，结合Papert的教育理念，专门针对这个课例进行理论分析与教学设计的分析。

顺便说一句，别忘了，145°所对应的图形我们还没有找到呢！下周课例分享，我们继续探究。