推论1：设函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续可导 (1)若 f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x)存在且在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内有 k k k个零点(不计重数)，则 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上最多有 n + k n+k n+k个零点（不计重数）。 (2)若 f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x)存在且在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内有 k k k个零点(计重数)，则 f ( x ) f(x) f(x)在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)上最多有 n + k n+k n+k个零点（计重数）。 推论2：设函数 f ( x ) f(x) f(x)是定义在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的函数， f ( x ) f(x) f(x)在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内有 s s s个间断点，且 f ( x ) f(x) f(x)在非间断点处连续可导 (1)若 f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x)存在且在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内有 k k k个零点(不计重数)，则 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上除间断点外最多有 ( s + 1 ) n + k (s+1)n+k (s+1)n+k个零点（不计重数）。 (1)若 f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x)存在且在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内有 k k k个零点(计重数)，则 f ( x ) f(x) f(x)在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)上除间断点外最多有 ( s + 1 ) n + k (s+1)n+k (s+1)n+k个零点（计重数）。 证明见论文《罗尔定理的推广及应用》 例1：证明方程 2 x − x 2 = 1 2^{x}-x^{2}=1 2x−x2=1有且仅有3个实根 证明：令 f ( x ) = 2 x − x 2 − 1 f(x)=2^{x}-x^{2}-1 f(x)=2x−x2−1，则 f ( x ) f(x) f(x)在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)内连续，由于 f ′ ′ ( x ) = 2 x ( ln ⁡ 2 ) 3 ≠ 0 f^{\prime \prime}(x)=2^{x}(\ln 2)^{3} \neq 0 f′′(x)=2x(ln2)3​=0，即 f ′ ′ ′ ( x ) = 2 x ( ln ⁡ 2 ) 3 ≠ 0 f^{\prime \prime \prime}(x)=2^{x}(\ln 2)^{3} \neq 0 f′′′(x)=2x(ln2)3​=0无实根（至多个实根），则由罗尔定理推论， f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0至多3个实根，又 f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 0 , f ( 2 ) = − 1 < 0 , f ( 5 ) = 6 > 0 f(0)=0, \quad f(1)=0, \quad f(2)=-10 f(0)=0,f(1)=0,f(2)=−10 故由零点定理知 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0至少3个实根，综上所述，方程 2 x − x 2 = 1 2^{x}-x^{2}=1 2x−x2=1有且仅有3个实根。