导数的定义、性质及计算(导数的定义式计算) |
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导数,derivative,
first derivative:一阶导,second derivative:二阶导,which derivative:几阶导?a derivative:一个导数,并不确定阶数
|x|
的导数,
sign(x)
(在
x=0
处没有定义)
1. 定义
设函数 y=f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义,当自变量 x 在 x0 处有增量 Δx , x0+Δx 也在该邻域时,对应的函数取得增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0) 。如果 Δy 与 Δx 之比,当 Δx→0 时,极限存在,则称函数 f(x) 在 x0 处可导(仅在 x0 这一点处,并不保证在所有点处),并称这个极限为函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数记为 f′(x0) ,即: f′(x0)=limΔx⇒0ΔyΔx=limΔx⇒0f(x0+Δx)−f(x0)Δx例:给定一个函数 f 及自变量 x,定义: Q(h)≡−f(x−2h)+16f(x−h)−30f(x)+16f(x+h)−f(x+2h)12h2问 Q(h) 是 f 的几阶导数? Q(h)≡===−f(x−2h)+16f(x−h)−30f(x)+16f(x+h)−f(x+2h)12h2(f(x−h)−f(x−2h))−15(f(x)−f(x−h)−f(x+h)+f(x))12h2+−(f(x+2h)−f(x+h))12h2f′(x−2h)−15f′(x−h)+15f′(x)−f′(x+h)12h15f′′(x−h)−3f′′(x−2h)12=f′′ 2. ∇ 与 Δ ∇ :梯度算子(gradient operator) Δ :delta,变化量;考察下面(二元函数导数)的定义: limΔx→0ΔfΔx=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=f′(x)任取一个比较小的变化 Δx ,则有: Δf≈f(x+Δx)−f(x)=ΔxT⋅f′(x) f′(x)=(∂f∂x1,∂f∂x2)T Δf≈ΔxT⋅f′(x)=∂f∂x1Δx1+∂f∂x1Δx1 3. 导数的计算 f(x)={x2sin(1/x)0if x≠0if x=0在 x=0 处是可微的,根据导数的定义: f′(0)=limh→0f(0+h)−f(0)h=h2sin(1/h)−0h=0然而,对于 x≠0 , f′(x)=2xsin(1/x)−cos(1/x)在 x→0 时是没有极限的( cos(1/x) 一直在震荡)。 |
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