求方向导数的题一般有两种：

1、 u=f(x,y) ，二元函数；

对于二元函数，求某点 \left(x_{0}, y_{0}\right) 沿某方向 l 的方向导数：

\begin{array}{c} \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}= f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \beta \end{array}

其中：l 方向上单位向量是 \vec{e_l}=\left(\cos \alpha ,\cos \beta \right)，cos\alpha,cos\beta 是方向余弦。

2、 u=f(x,y,z) ，三元函数；

对于三元函数，求某点 \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) 沿某方向 l 的方向导数：

\begin{array}{c} \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}= f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \cos \beta+f_{z}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \cos \gamma \end{array}

其中：l 方向上单位向量是 \vec{e_l}=\left(\cos \alpha ,\cos \beta ,cos\gamma\right)，cos\alpha,cos\beta,cos\gamma 是方向余弦。

【例题】函数 u=e^{xy}+x^2yz 在点 \left(1,2,1\right) 处沿 x 轴负方向的方向导数为？

解：由公式 \begin{array}{c} \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}= f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \cos \beta+f_{z}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \cos \gamma \end{array}

其中 \left(x_{0,}y_{0,}z_{0,}\right)=\left(1,2,1\right) ；

沿 x 轴负方向，即 \left(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \right)=\left(-1,0,0\right)

且 f_x^{\prime}=ye^{xy}+2xyz

所以，函数 u=e^{xy}+x^2yz 在点 \left(1,2,1\right) 处沿 x 轴负方向的方向导数为：

\begin{array}{c} \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(1, 2, 1\right)}=f_{x}^{\prime}\left(1, 2, 1\right) \cos \alpha \end{array}

=-1\times \left(2e^2+4\right)

=-2e^2-4

【附图】

附草稿纸：