这些公式都是必记的！因为经常在考场上出现，如果现推的话又很容易出错和耗时间，故需要我们深刻地去记忆。 公式推导所得答案不唯一，若想检验答案正确性，可以通过对所得答案进行求导，若求导后的值和原式相同，则答案正确。

原式 = ∫ c s c x ( c s c x − c o t x ) c s c x − c o t x d x = ∫ c s c 2 x − c s c x c o t x c s c x − c o t x d x 原式=\int \frac{cscx(cscx-cotx)}{cscx-cotx}dx=\int \frac{csc^2x-cscxcotx}{cscx-cotx}dx 原式=∫cscx−cotxcscx(cscx−cotx)​dx=∫cscx−cotxcsc2x−cscxcotx​dx = ∫ 1 c s c x − c o t x d ( c s c x − c o t x ) =\int \frac{1}{cscx-cotx}d(cscx-cotx) =∫cscx−cotx1​d(cscx−cotx) = l n ∣ c s c x − c o t x ∣ + C =ln|cscx-cotx|+C =ln∣cscx−cotx∣+C

原式 = ∫ s e c x ( s e c x + t a n x ) s e c x + t a n x d x = ∫ s e c 2 x + s e c x t a n x s e c x + t a n x d x 原式=\int\frac{secx(secx+tanx)}{secx+tanx}dx=\int\frac{sec^2x+secxtanx}{secx+tanx}dx 原式=∫secx+tanxsecx(secx+tanx)​dx=∫secx+tanxsec2x+secxtanx​dx = ∫ d ( t a n x + s e c x ) s e c x + t a n x =\int\frac{d(tanx+secx)}{secx+tanx} =∫secx+tanxd(tanx+secx)​ = l n ∣ s e c x + t a n x ∣ + C =ln|secx+tanx|+C =ln∣secx+tanx∣+C

令 x = a s e c t x=asect x=asect, 则 d x = a s e c t ⋅ t a n t d t , s e c t = x a , t a n t = x 2 − a 2 a dx=asect·tantdt, sect=\frac{x}{a},tant=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a} dx=asect⋅tantdt,sect=ax​,tant=ax2−a2 ​​ 原式 = ∫ a s e c t ⋅ t a n t d t a 2 s e c 2 t − a 2 = ∫ a s e c t ⋅ t a n t d t a 2 ( s e c 2 t − 1 ) = ∫ s e c t ⋅ t a n t d t t a n t 原式 =\int\frac{asect·tantdt}{\sqrt{a^2sec^2t-a^2}}=\int\frac{asect·tantdt}{\sqrt{a^2(sec^2t-1)}}=\int\frac{sect·tantdt}{tant} 原式=∫a2sec2t−a2 ​asect⋅tantdt​=∫a2(sec2t−1) ​asect⋅tantdt​=∫tantsect⋅tantdt​ = ∫ s e c t d t = l n ∣ s e c t + t a n t ∣ + C = l n ∣ x a + x 2 − a 2 a ∣ + C =\int sectdt=ln|sect+tant|+C=ln|\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}|+C =∫sectdt=ln∣sect+tant∣+C=ln∣ax​+ax2−a2 ​​∣+C 将分母的 a 看成常数 C ，得最终结果： 将分母的a看成常数C，得最终结果： 将分母的a看成常数C，得最终结果： = l n ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C =ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C =ln∣x+x2−a2 ​∣+C

令 x = a s i n t , 则 d x = a c o s t d t , t = a r c s i n x a x=asint,则dx=acostdt,t=arcsin\frac{x}{a} x=asint,则dx=acostdt,t=arcsinax​ 原式 = ∫ a c o s t d t a 2 − a 2 s i n 2 t = ∫ a c o s t d t a c o s t 原式=\int\frac{acostdt}{\sqrt{a^2-a^2sin^2t}}=\int\frac{acostdt}{acost} 原式=∫a2−a2sin2t ​acostdt​=∫acostacostdt​ = ∫ 1 d t = ∫ t + C =\int1dt=\int t+C =∫1dt=∫t+C = a r c s i n x a + C =arcsin\frac{x}{a}+C =arcsinax​+C

令 x = a t a n t , 则 d x = a s e c 2 t d t , x=atant,则dx=asec^2tdt, x=atant,则dx=asec2tdt, 原式 = ∫ a s e c 2 t d t a 2 t a n 2 t + a 2 = ∫ s e c t d t = 原式=\int\frac{asec^2tdt}{\sqrt{a^2tan^2t+a^2}}=\int sectdt= 原式=∫a2tan2t+a2 ​asec2tdt​=∫sectdt= = l n ∣ s e c t + t a n t ∣ + C =ln|sect+tant|+C =ln∣sect+tant∣+C

原式 = ∫ d x ( x + a ) ( x − a ) = 1 2 a ∫ x + a − x + a ( x + a ) ( x − a ) 原式=\int\frac{dx}{(x+a)(x-a)}=\frac{1}{2a}\int\frac{x+a-x+a}{(x+a)(x-a)} 原式=∫(x+a)(x−a)dx​=2a1​∫(x+a)(x−a)x+a−x+a​ = 1 2 a ∫ [ 1 x − a d ( x − a ) − 1 x + a d ( x + a ) ] =\frac{1}{2a}\int[\frac{1}{x-a}d(x-a)-\frac{1}{x+a}d(x+a)] =2a1​∫[x−a1​d(x−a)−x+a1​d(x+a)] = 1 2 a ( l n ∣ x − a ∣ − l n ∣ x + a ∣ ) + C =\frac{1}{2a}(ln|x-a|-ln|x+a|)+C =2a1​(ln∣x−a∣−ln∣x+a∣)+C = 1 2 a l n ∣ x − a x + a ∣ + C =\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C =2a1​ln∣x+ax−a​∣+C

令 x = a t a n t , 则 d x = a s e c 2 t d t , t = a r c t a n x a x=atant,则dx=asec^2tdt, t=arctan\frac{x}{a} x=atant,则dx=asec2tdt,t=arctanax​ 原式 = ∫ a s e c 2 t d t a 2 s e c 2 t = ∫ 1 a d t = 1 a t + C 原式=\int\frac{asec^2tdt}{a^2sec^2t}=\int\frac{1}{a}dt=\frac{1}{a}t+C 原式=∫a2sec2tasec2tdt​=∫a1​dt=a1​t+C = 1 a a r c t a n x a + C =\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C =a1​arctanax​+C

原式 = ∫ e x e x ( 1 + e x ) d x = ∫ d e x e x ( 1 + e x ) 原式=\int\frac{e^x}{e^x(1+e^x)}dx=\int\frac{de^x}{e^x(1+e^x)} 原式=∫ex(1+ex)ex​dx=∫ex(1+ex)dex​ 令 e x = t , 则 x = l n t 令e^x=t,则x=lnt 令ex=t,则x=lnt 原式 = ∫ d t t ( 1 + t ) = ∫ ( 1 t − 1 1 + t ) d t = l n ∣ t ∣ − l n ∣ 1 + t ∣ + C 原式=\int\frac{dt}{t(1+t)}=\int(\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t})dt=ln|t|-ln|1+t|+C 原式=∫t(1+t)dt​=∫(t1​−1+t1​)dt=ln∣t∣−ln∣1+t∣+C = x − l n ( 1 + e x ) + C =x-ln(1+e^x)+C =x−ln(1+ex)+C

令 x = a t a n t , 则 d x = a s e c 2 t d t , t a n t = x a 令x=atant,则dx=asec^2tdt,tant=\frac{x}{a} 令x=atant,则dx=asec2tdt,tant=ax​ 原式 = ∫ a 2 t a n 2 t + a 2 ⋅ a s e c 2 t d t = ∫ a 2 s e c 3 t d t = a 2 ∫ s e c 3 t d t 原式=\int\sqrt{a^2tan^2t+a^2}·asec^2tdt=\int a^2sec^3tdt= a^2\int sec^3tdt 原式=∫a2tan2t+a2 ​⋅asec2tdt=∫a2sec3tdt=a2∫sec3tdt = a 2 ∫ s e c ⋅ s e c 2 t d t = a 2 ∫ s e c t d t a n t = a 2 ( s e c t ⋅ t a n t − ∫ t a n 2 t s e c t d t ) =a^2\int sec·sec^2tdt=a^2\int sectdtant=a^2(sect·tant-\int tan^2tsectdt) =a2∫sec⋅sec2tdt=a2∫sectdtant=a2(sect⋅tant−∫tan2tsectdt) = a 2 ( s e c t ⋅ t a n t − ∫ ( s e c t 2 − 1 ) s e c t d t ) = a 2 ( s e c t ⋅ t a n t − ∫ s e c 3 t d t + ∫ s e c t d t ) =a^2(sect·tant-\int(sect^2-1)sectdt)=a^2(sect·tant-\int sec^3tdt+\int sectdt) =a2(sect⋅tant−∫(sect2−1)sectdt)=a2(sect⋅tant−∫sec3tdt+∫sectdt) 于是目前得到的关系式为 : a 2 ∫ s e c 3 t d t = a 2 ( s e c t ⋅ t a n t − ∫ s e c 3 t d t + ∫ s e c t d t ) 于是目前得到的关系式为:a^2\int sec^3tdt=a^2(sect·tant-\int sec^3tdt+\int sectdt) 于是目前得到的关系式为:a2∫sec3tdt=a2(sect⋅tant−∫sec3tdt+∫sectdt) 移项得： a 2 ∫ s e c 3 t d t = a 2 ( 1 2 s e c t ⋅ t a n t + 1 2 l n ∣ s e c t + t a n t ∣ ) + C 移项得：a^2\int sec^3tdt=a^2(\frac{1}{2}sect·tant+\frac{1}{2}ln|sect+tant|)+C 移项得：a2∫sec3tdt=a2(21​sect⋅tant+21​ln∣sect+tant∣)+C = a 2 ( 1 2 x 2 + a 2 a ⋅ x a + 1 2 l n ( x 2 + a 2 a + x a ) ) + C ( s e c t 可通过画三角形求解 ) =a^2(\frac{1}{2}\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}·\frac{x}{a}+\frac{1}{2}ln(\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}+\frac{x}{a}))+C(sect可通过画三角形求解) =a2(21​ax2+a2 ​​⋅ax​+21​ln(ax2+a2 ​​+ax​))+C(sect可通过画三角形求解) 下一步将 l n 中的 a 化入常数项 C 里去，然后化简整个式子： 下一步将ln中的a化入常数项C里去，然后化简整个式子： 下一步将ln中的a化入常数项C里去，然后化简整个式子： = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 l n ( x + x 2 + a 2 ) + C =\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C =2x​x2+a2 ​+2a2​ln(x+x2+a2 ​)+C

令 x = a s e c t , 则 d x = a s e c t ⋅ t a n t d t 令x=asect,则dx=asect·tantdt 令x=asect,则dx=asect⋅tantdt 原式 = ∫ a 2 s e c 2 t − a 2 ⋅ a s e c t ⋅ t a n t d t = ∫ a 2 s e c t ⋅ t a n 2 t d t 原式=\int \sqrt{a^2sec^2t-a^2}·asect·tantdt=\int a^2sect·tan^2tdt 原式=∫a2sec2t−a2 ​⋅asect⋅tantdt=∫a2sect⋅tan2tdt = a 2 ∫ s e c t ( s e c 2 − 1 ) d t = a 2 ∫ ( s e c 3 t d t − s e c t d t ) =a^2\int sect(sec^2-1)dt=a^2\int (sec^3tdt-sectdt) =a2∫sect(sec2−1)dt=a2∫(sec3tdt−sectdt) 前面求过， ∫ s e c 3 t = 1 2 ( s e c t ⋅ t a n 2 t + l n ∣ s e c t + t a n t ∣ ) 前面求过，\int sec^3t=\frac{1}{2}(sect·tan^2t+ln|sect+tant|) 前面求过，∫sec3t=21​(sect⋅tan2t+ln∣sect+tant∣) ∴ 原式 = a 2 ( 1 2 ( s e c t ⋅ t a n 2 t + l n ∣ s e c t + t a n t ∣ ) − l n ∣ s e c t + t a n t ∣ ) + C ∴原式=a^2(\frac{1}{2}(sect·tan^2t+ln|sect+tant|)-ln|sect+tant|)+C ∴原式=a2(21​(sect⋅tan2t+ln∣sect+tant∣)−ln∣sect+tant∣)+C 接下来的具体化简方法前面已经提到过了，此处省略 接下来的具体化简方法前面已经提到过了，此处省略 接下来的具体化简方法前面已经提到过了，此处省略 = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 l n ( x + x 2 − a 2 ) + C =\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C =2x​x2−a2 ​−2a2​ln(x+x2−a2 ​)+C

令 x = a s i n t , d x = a c o s t d t , t = a r c s i n x a , c o s t = a 2 − x 2 a ( 画三角形求解 c o s t ) 令x=asint,dx=acostdt,t=arcsin\frac{x}{a},cost=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}(画三角形求解cost) 令x=asint,dx=acostdt,t=arcsinax​,cost=aa2−x2 ​​(画三角形求解cost) 原式 = ∫ a 2 − a 2 s i n 2 t ⋅ a c o s t d t = ∫ a 2 c o s 2 t d t = a 2 2 ∫ ( 1 + c o s 2 t ) d t 原式=\int \sqrt{a^2-a^2sin^2t}·acostdt=\int a^2cos^2tdt=\frac{a^2}{2}\int(1+cos2t)dt 原式=∫a2−a2sin2t ​⋅acostdt=∫a2cos2tdt=2a2​∫(1+cos2t)dt = a 2 2 t + a 2 4 s i n 2 t + C = a 2 2 a r c s i n x a + a 2 4 ⋅ 2 s i n t c o s t + C =\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{4}sin2t+C=\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+\frac{a^2}{4}·2sintcost+C =2a2​t+4a2​sin2t+C=2a2​arcsinax​+4a2​⋅2sintcost+C = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 a r c s i n x a + C =\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+C =2x​a2−x2 ​+2a2​arcsinax​+C

原式 = ∫ s i n x c o s x d x = − ∫ d c o s x c o s x = − l n ∣ c o s x ∣ + C 原式=\int \frac{sinx}{cosx}dx=-\int \frac{dcosx}{cosx}=-ln|cosx|+C 原式=∫cosxsinx​dx=−∫cosxdcosx​=−ln∣cosx∣+C

原式 = ∫ c o s x s i n x d x = ∫ d s i n x s i n x = l n ∣ s i n x ∣ + C 原式=\int \frac{cosx}{sinx}dx=\int \frac{dsinx}{sinx}=ln|sinx|+C 原式=∫sinxcosx​dx=∫sinxdsinx​=ln∣sinx∣+C