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作者：

刘钰莹

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摘要：

作为有限体积法和有限元方法的进一步推广,间断有限元方法是一类用于求解双曲方程的高效的数值解法.对于高阶方程,首先通过建立辅助变量将其转换为一阶方程组,然后对方程组应用间断有限元方法进行计算,我们称这样的方法为局部间断有限元方法.二者均具有高阶收敛精度,是高效稳定的近现代数值算法.我们可以通过选择间断有限元空间中用于逼近真解的多项式的阶数,来使得数值解对精确解的收敛误差具有任意高的阶数.此外,针对解存在间断的情况,可以通过选择恰当的斜率限制器让数值解在间断点附近能够得到更好的控制,即使其呈现出陡峭的状态,同时消除震荡.本文主要研究周期边界条件下的一维变系数线性对流扩散方程的间断有限元方法的稳定性和误差估计.稳定性可以保证由格式得到的数值解是可由其初值控制住的,不会随时间的发展而发生严重偏移;收敛性是衡量一个数值算法是否优秀的重要标准之一,好的算法应该具有较高的收敛精度和数值分辨率,是数值解与精确解之间相似程度的体现.本文给出了一维变系数线性对流扩散方程的局部间断有限元方法的稳定性结论和收敛性结论,对局部间断有限元方法用于求解变系数偏微分方程的理论依据进行了补充.首先,本文针对对流项带变系数函数,扩散项为常系数的对流扩散方程的稳定性以及对流项为常系数,扩散项带变系数函数的对流扩散方程的稳定性进行了证明,综合上述两部分的证明结果,给出了周期边界条件下的一维变系数线性对流扩散方程的稳定性结论.在稳定性证明过程中的关键是数值流通量的选择,本文选择一般数值流通量进行LDG格式的建立.其中令对流通量参数与各剖分单元边界点处变系数函数的取值相匹配是格式保持稳定的关键.然后通过建立分片全局投影,并以定理的形式给出其存在唯一性及最佳逼近性质的证明.结合Gauss-Radau投影与标准局部~2L投影,分别对对流项带变系数函数,扩散项为常系数和对流项为常系数,扩散项带变系数函数的对流扩散方程进行了误差估计,分析结果表明:对流项带变系数函数扩散项为常系数的对流扩散方程的LDG格式可达k阶收敛,而对流项为常系数扩散项带变系数函数的对流扩散方程的LDG格式可达k(10)1阶收敛,综合上述两个部分的证明过程,本文给出周期边界条件下的一维变系数线性对流扩散方程的局部间断有限元方法所得数值解为k阶收敛的结论.最后,在稳定性分析和收敛性分析的理论基础上,本文选择了三个有代表性的数值算例进行数值试验,根据计算结果可以看到,局部间断有限元方法在选择一般数值流通量的情况下用于求解变系数线性对流扩散方程可达k(10)1阶收敛,这是该方法作为数值算法求解高阶方程的最优收敛阶.总而言之,局部间断有限元方法是一种用于求解高阶偏微分方程的,具有高阶数值精度,高分辨率的数值算法.本文主要研究了选择了一般数值流通量的局部间断有限元方法在求解周期边界条件下的一维变系数线性对流扩散方程的稳定性和收敛性,给出了这一方法用于求解变系数方程的理论基础,并进一步说明了该方法在求解高阶方程时的高精度特点.同时利用数值算例为理论结果提供了事实依据,有力地说明了对于变系数方程,局部间断有限元方法具有计算稳定性和结果优越性.

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学位级别：

硕士