利用MATLAB进行求导 |
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导数是微积分中的一个重要的概念,又称为导函数值。在数学中,我们经常会利用导数来求切线、极值、拐点、渐近线等。在解决数学问题中,经常需要用到导数。MATLAB中提供了diff函数进行求导。本文对于MATLAB的求导操作进行简单介绍。 1、求导的定义求导是数学计算中的一个计算方法,它的定义就是,当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。本段定义来自百度百科(求导的定义) 2、diff函数在MATLAB中提供了diff函数用于导数的求导,其中diff函数提供了四种调用方式。 (1)diff(y):这种调用方式没有指明需要求导的自变量以及导数的阶层数目,一般情况下,是对默认的变量进行一次的求导。 例如,在数学学习中,我们会知道一些比较常用的求导的公式有: 下面利用MATLAB对其进行验证: syms x u a y1=diff(x^u,x) y2=diff(exp(x)) y3=diff(log(x)) y4=diff(sin(x)) y5=diff(cos(x)) y6=diff(a^x,x) y7=diff(log(x)/log(a),x)(注:因为在MALTAB中仅有以自然数e、2和10为底的对数公式,这里转换为log(x)/log(a)的形式)。 运行结果如下所示: y1 = u*x^(u - 1) y2 = exp(x) y3 = 1/x y4 = cos(x) y5 = -sin(x) y6 = a^x*log(a) y7 = 1/(x*log(a))通过使用MATLAB代码对于上面的公式进行验证,可以看出MATLAB所计算的结果与公式相同。 在学习导数的时候,我们会学习到导数的乘法与除法的运算法则。 其中导数的乘法运算法则如下所示: 导数的除法的运算法则如下所示: 下面利用MATLAB代码对其进行验证,例如下面这个式子对其进行求导操作: 利用MATLAB代码对其进行验证得: syms x y=x*exp(x); diff(y)运行结果如下所示: ans = exp(x) + x*exp(x)可以看出结果符合乘法的运算法则。 下面对于除法的运算法则进行验证: syms x y=exp(x)/x; diff(y)运行结果如下所示: ans = exp(x)/x - exp(x)/x^2通过MATLAB所输出的结果看出符合除法的运算法则。 下面我们可以对于tan(x)的导数进行验证,tanx转换为sinx/cosx的形式,利用除法的运算法则可以对其进行计算: syms x y=sin(x)/cos(x); diff(y)运行结果如下所示: ans = sin(x)^2/cos(x)^2 + 1对于MATLAB所计算的结果进行验证: 而对tanx进行求导的结果如下所示: 通过对比可以看出MATLAB所求结果正确。 (2)当符号表达式中涉及到了多变量时,diff函数可以指定对于特定符号变量进行求导,调用格式为diff(y,'x')。其中diff(y,'x'):假设需要对其进行求导的变量是x,因为没有说明求导的阶数,这种情况下,MATLAB默认对其进行一阶求导。 例如对于下面的公式进行求导: 对下面的式子进行求导: syms x a b c y=a*x^3+b*x^2+x+c; diff(y,'x')运行结果如下所示: ans = 3*a*x^2 + 2*b*x + 1通过上面的例子可以看到,当存在多个符号变量的时候,diff函数可以指定特定的自变量对其进行求导。 (3)另外一种调用方式是指定特定的阶数,未说明对其求导的自变量,调用方式是diff(y,n),其中对于MATLAB指定的自变量求其n阶导数。 例如同样对下面的公式进行求导: MATLAB代码如下所示: syms x a b c y=x^3+2*x^2+4*x+6; diff(y,2)运行结果如下所示: ans = 6*x + 4(4)最后一种调用方式是对其进行求导的自变量、求导的阶数都进行说明,该方式的调用格式为diff(y,‘x’,n):该调用方式是以对于自变量x求其n阶导数。 例如,对于下面的式子的x变量求其二阶导数: MATLAB代码如下所示: syms x y=(x+1)*log(x)-x^2+x+1; diff(y,'x',2)运行结果如下所示: ans = 2/x - (x + 1)/x^2 - 2 3、利用MATLAB对于复杂的公式求导通过使用MATLAB对于一些复杂的公式进行求导,方便我们操作。下面对其较为困难的公式进行求导,下面举几个例子: MATLAB代码如下所示: syms x y1=diff(sqrt(x)*sin(x),'x',1) y2=diff(1/((3*x-1)^2),'x',1) y3=diff(cos(sin(x)),'x',1)运行结果如下所示: y1 = x^(1/2)*cos(x) + sin(x)/(2*x^(1/2)) y2 = -6/(3*x - 1)^3 y3 = -sin(sin(x))*cos(x)通过运行的结果可以看出,在MATLAB中对于较复杂的符号表达式都可以进行求导操作。 |
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