第一讲：线性空间的概念与性质 |
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一、线性空间
1.集合的相关知识
（1）空集：∅ （2）有理数集：Q （3）实数集：R （4）复数集：C 2.数域 设F是一个非空数集，且0,1∈F，若对F中任意元素a和b，有 a+b∈F，a-b∈F，a·b∈F，a/b(b≠0)∈F，则称F为数域。 即：数域就是对加、减。、乘、除四则远算封闭的非空数集。 如：实数集R、复数集C 3.线性空间 设F是一个数域，V是一个非空集合： 对F中任意元素α与β，定义加法运算“+”，且有α+β∈V 对F中任意元素k，以及V中任意元素α，定义数乘运算“·”，且有k·α∈V若加法运算和数乘运算满足以下性质，则称V为数域F上的线性空间，记为V(F)。 加法满足： （1）交换律：α + β = β + α （2）结合律：（α + β） + γ = α +（β + γ） （3）零元：V中存在的一元素，记为0，使得对V中任意元素α，均有0+α = α （4）负元：对v中任意元素α，均存在元素β，使得α + β = 0，记为α = -β 乘法满足： （1）结合律：对任意的K、l∈F，α∈V，有（kl）α = k（lα） （2）对V中任意元素α，有1·α = α （3）分配律：对任意的K、l∈F，α∈V，有（k+l）α = kα + lα （4）分配律：对任意的k∈F，α、β∈V，有k（α + β） =k α + kβ 注： 1）线性空间V(F)中的元素称为向量 2）当数域F是实数域，称V(F)是实线性空间 当数域F是复数域，称V(F)是复线性空间 二、线性空间的性质1.线性空间V(F)中的零元唯一 2.线性空间V(F)中的负元唯一 3.对于线性空间V(F)中任意α，有0·α = 0 （1）·α= -α 4.对于数域F中的任意数K，有k·0 = 0 |
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