经常有同学问复数集合作为复数域和实数域上的线性空间的区别，本文给予一个比较详细的解释。

线性空间 V ( + , ⋅ ) V(+,\cdot) V(+,⋅)是一个代数系统，它的定义有四个要素： （1）一个数域 P P P； （2）一个非空集合 V V V； （3）两种线性运算：加法和数乘； （4）八条运算规律：加法运算律 A 1 ∼ A 4 A_1\sim A_4 A1​∼A4​, 数乘运算律 M 1 ∼ M 4 M_1\sim M_4 M1​∼M4​。

复数集合 C C C按照复数的加法和复数与数域 P P P中的数乘完全符合上述定义的各项要素，所以是线性空间。当数域 P P P分别是复数域 C C C和实数域 R R R时， C C C是不同的线性空间。这里有点绕，当我们把 C C C看成复数域 C C C上的线性空间时，这里的两个 C C C有不同的含义，按照定义去扣的话，前一个 C C C充当定义里的非空集合 V V V, 而后一个 C C C充当定义中的数域 P P P。

复数域上的空间 C C C和实数域上的空间 C C C的根本区别在数乘运算上：

例如，复数域上的空间 C C C中: ∀ w ∈ C , \forall w\in C, ∀w∈C, 数乘 2 i ⋅ w 2i\cdot w 2i⋅w是允许的，而在实数域上的空间 C C C中: ∀ w ∈ C , \forall w\in C, ∀w∈C, 数乘 2 i ⋅ w 2i\cdot w 2i⋅w是不允许的，因为 2 i ∉ R 2i\notin R 2i∈/​R。数域 R R R限制了做复数向量的线性组合时，系数只能用实数。

数乘运算的这种区别决定了这两种空间的维数和基的不同。

所谓"基"，就是空间 V V V中的一组线性无关的向量组，使得 Ｖ Ｖ Ｖ中的每一个向量都能被这组向量组表示出来。下面就用这个思路来求这种空间的基。 （1）复数域上的空间 C C C ∀ w ∈ C \forall w\in C ∀w∈C, 由于 w = w × 1 , w=w\times 1, w=w×1, 所以1是该空间的一组基，所以这个空间的维数是1维。

(2)实数域上的空间 C C C ∀ w ∈ C \forall w\in C ∀w∈C, 由于现在数域是实数域，所以只能用实数作为组合系数，于是 w = a × 1 + b × i , a , b ∈ R , w=a\times 1+b\times i, a,b\in R, w=a×1+b×i,a,b∈R,

所以，1和 i i i是该空间的一组基，维数是2维。

为了方便设 V 1 V_1 V1​表示复数域上的线性空间 C C C, V 2 V_2 V2​表示实数域上的线性空间 C C C。定义线性变换： σ ( w ) = w ‾ , w ∈ C , \sigma(w)=\overline{w}, w\in C, σ(w)=w,w∈C,

即为取复数的共轭复数。请问 σ \sigma σ是 V 1 V_1 V1​或者 V 2 V_2 V2​上的线性变换吗？

要判断 σ \sigma σ是否为线性变换，关键看它是否保持线性运算。 在 V 1 V_1 V1​中，

σ ( i w ) = i w ‾ = i ‾ w ‾ = − i w ‾ ≠ i w ‾ = i σ ( w ) , \sigma(iw)=\overline{iw}=\overline{i}\overline{w}=-i\overline{w}\ne i\overline{w}=i\sigma (w), σ(iw)=iw=iw=−iw̸​=iw=iσ(w),

所以， σ \sigma σ不是 V 1 V_1 V1​上的线性变换。

在 V 2 V_2 V2​中， ∀ w ∈ C , ∀ a ∈ R , \forall w\in C , \forall a\in R, ∀w∈C,∀a∈R,

σ ( a w ) = a w ‾ = a ‾ w ‾ = a w ‾ = a σ ( w ) , \sigma(aw)=\overline{aw}=\overline{a}\overline{w}=a\overline{w}=a\sigma(w), σ(aw)=aw=aw=aw=aσ(w),

所以， σ \sigma σ是 V 2 V_2 V2​上的线性变换。

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