令曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)绕 x x x轴旋转，形成的旋转体，则其体积和表面积可以计算积分而得（假设体积和表面积一定存在，积分一定存在，这里不讨论数学问题）。 体积公式为： V = ∫ π y 2 d x V={\int}{\pi}{y^2}dx V=∫πy2dx 表面积公式为 S = ∫ 2 π y 1 + y ′ 2 d x S=\int{2\pi}{y}\sqrt{1+{y^{\prime}}^2}dx S=∫2πy1+y′2 ​dx 剩下的就是推导定积分公式。 ##ZOJ3866 Cylinder Candy## ZOJ3866，一个圆柱体半径为 r r rmm，高度为 h h hmm，外围包裹着 d d dmm厚的涂层，求其表面积和体积。这个题目要精确到 1 0 − 8 10^{-8} 10−8，推不出积分公式就不用做了。 整个部分最关键的就是四个边角的形状，四个边角合在一起恰好是一个圆环的外半侧。所以关键就是求圆环的外半侧的体积以及表面积。 曲线方程为： y = r + d 2 − x 2 , x ∈ [ − d , d ] y=r+\sqrt{d^2-x^2},x\in\left[-d,d\right] y=r+d2−x2 ​,x∈[−d,d] 则，体积积分为： V = π ∫ ( r 2 + d 2 − x 2 + 2 r d 2 − x 2    ) d x = π ∫ ( r 2 + d 2 ) d x − π ∫ x 2 d x + 2 π r ∫ d 2 − x 2 d x V=\pi\int(r^2+d^2-x^2+2r\sqrt{d^2-x^2}\;)dx\\=\pi\int(r^2+d^2)dx-\pi\int{x^2}dx+2\pi{r}\int\sqrt{d^2-x^2}dx V=π∫(r2+d2−x2+2rd2−x2 ​)dx=π∫(r2+d2)dx−π∫x2dx+2πr∫d2−x2 ​dx 第3项稍微麻烦一点，其不定积分为： ∫ d 2 − x 2 d x = 1 2 x d 2 − x 2 + d 2 2 a r c s i n x d + C \int\sqrt{d^2-x^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{d^2-x^2}+\frac{d^2}{2}arcsin{\frac{x}{d}}+C ∫d2−x2 ​dx=21​xd2−x2 ​+2d2​arcsindx​+C 表面积公式首先要求 y y y的导数： y ′ = − x d 2 − x 2 y\prime=-\frac{x}{\sqrt{d^2-x^2}} y′=−d2−x2 ​x​ 所以， 1 + y ′ 2 = d 2 d 2 − x 2 1+{y\prime}^2=\frac{d^2}{d^2-x^2} 1+y′2=d2−x2d2​ 表面积的积分为： S = 2 π ∫ ( r + d 2 − x 2 ) d d 2 − x 2 d x = 2 π r d ∫ 1 d 2 − x 2 d x + 2 π d ∫ d x S=2\pi\int({r+\sqrt{d^2-x^2}})\frac{d}{\sqrt{d^2-x^2}}dx\\=2\pi{rd}\int\frac{1}{\sqrt{d^2-x^2}}dx+2\pi{d}\int{dx} S=2π∫(r+d2−x2 ​)d2−x2 ​d​dx=2πrd∫d2−x2 ​1​dx+2πd∫dx 第一项就是 a r c s i n x d + C arcsin\frac{x}{d}+C arcsindx​+C。 所以，体积和表面积全部可以求出原函数的解析式。

然后把其他部分的圆柱体算上即可。

##ZOJ3898 Stean## ZOJ3898同样是旋转体的表面积和体积。曲线为： y = 2 + c o s x y=2+cosx y=2+cosx 不同点在于定积分公式中有一项是得不到解析式的。但是这道题很明显曲线是周期性函数，定积分的周期就是 π \pi π，而题目要求在 1 0 − 2 10^{-2} 10−2以内，所以取 ϵ \epsilon ϵ为 1 0 − 3 10^{-3} 10−3或 1 0 − 4 10^{-4} 10−4直接使用积分定义去计算。每次计算需要迭代的次数在几万次，应该是没有问题的。 体积积分： V = π ∫ ( 2 + c o s x ) 2 d x = 4 π ∫ d x + 4 π ∫ c o s x d x + π ∫ c o s 2 x d x V=\pi\int(2+cosx)^2dx\\=4\pi\int{dx}+4\pi\int{cosx}dx\\+\pi\int{cos^2x}dx V=π∫(2+cosx)2dx=4π∫dx+4π∫cosxdx+π∫cos2xdx 其中第三项为： ∫ c o s 2 x d x = x 2 + s i n 2 x 4 + C \int{cos^2x}dx=\frac{x}{2}+\frac{sin2x}{4}+C ∫cos2xdx=2x​+4sin2x​+C 表面积积分： S = 2 π ∫ ( 2 + c o s x ) 1 + s i n 2 x    d x = 4 π ∫ 1 + s i n 2 x    d x + 2 π ∫ 1 + s i n 2 x    d s i n x S=2\pi\int(2+cosx)\sqrt{1+sin^2x}\;dx\\=4\pi\int\sqrt{1+sin^2x}\;dx\\+2\pi\int\sqrt{1+sin^2x}\;dsinx S=2π∫(2+cosx)1+sin2x ​dx=4π∫1+sin2x ​dx+2π∫1+sin2x ​dsinx

其中第一项不知道积不积得出来，反正我没有积出来。数学不行，就用计算机的方法算。第二项令 t = s i n x t=sinx t=sinx，则 ∫ 1 + t 2    d t = 1 2 t 1 + t 2 + 1 2 ln ⁡ ∣ t + 1 + t 2 ∣ + C \int\sqrt{1+t^2}\;dt=\frac{1}{2}t\sqrt{1+t^2}+\frac{1}{2}\ln{\left|{t+\sqrt{1+t^2}}\right|}+C ∫1+t2 ​dt=21​t1+t2 ​+21​ln∣ ∣​t+1+t2 ​∣ ∣​+C