积分是求曲线与轴之间的面积的最好方法：它可以给我们绝对精确答案的公式。

可是，求积分有时是很困难的，甚至可以是不可能计算的！

但我们可以把很多薄片的面积相加 来得到一个近似值。

我们来试试看！

我们用 f(x) = ln(x)，从 x = 1 到 x = 4

我们其实可以求这个函数的积分，答案是 2.54517744447956……

但假设我们不可以积分，而只能求 ln(x) 的值：

我们先用宽度为1 的片，这样会解释会容易点（但其实片越薄越好）。

前 4 个方法也称为黎曼和，源自数学家波恩哈德·黎曼。

这方法用以左边的值为高度的矩形。面积是：

加起来是 1.791759，比 2.545177小很多。为什么？

因为我们忽略了矩形顶部与曲线之间的面积。

当曲线持续增大时，误差也会越来越大。若曲线有时上升，有时下降，误差通常会比较小。

在这里，矩形的高度是右边的值。面积是：

加起来是 3.178054，现在比 2.545177 大多了，因为我们也算了矩形顶部与曲线之间的面积。

我们也可以用中点！面积是：

加起来是 2.574519……，离 2.545177 很近。

我们可以左右两边都用，这样图形便是个梯形。

我们取左边和右边的平均值。面积是：

加起来是 2.484907，还是比 2.545177 小，主要是因为曲线在这个区间是下凹的。

注意每个值用了两次（头尾除外），然后总和被除以 2：

ln(1) + ln(2) 2 × 1 + ln(2) + ln(3) 2 × 1 + ln(3) + ln(4) 2 × 1

1 2 × ( ln(1) + ln(2) + ln(2) + ln(3) + ln(3) + ln(4) )

1 2 × ( ln(1) + 2 ln(2) + 2 ln(3) + ln(4) )

我们可以导出一个通用的公式：

Δx 2 × ( f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... 2f(xn-1) + f(xn) )

顺便说，这个方法只不过是左矩形法和右矩形法的平均值：

梯形法 = 左矩形法 + 右矩形法 2

辛普森公式是改良了的梯形法。这个方法是基于梯形法，不过在顶部是抛物线而不是直线。抛物线通常很接近实际的曲线：

乍看好像很复杂，但最终的公式和梯形法差不多（不同的是除以 3 以及用 4,2,4,2,4 的因子规律）：

Δx 3 × ( f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + ... 4f(xn-1) + f(xn) )

可是：n 一定要是偶数。所以我们试试用 6片，每片的宽都为 0.5：

0.5 3 × ( f(1) + 4f(1.5) + 2f(2) + 4f(2.5) + 2f(3) + 4f(3.5) + f(4) )

代入 ln(1) 等的值，结果是：

0.5 3 × ( 15.2679…… )

2.544648……

与2.545177...相比，这是个很好的答案！

注意当曲线在X轴的下面时，面积是负数。

我们来比较以上的方法：