如图所示，一圆心为 O 、半径为 R 的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内，其下端与光滑水平面在 Q 点相切。在水平面上，质量为 m 的小物块 A 以某一速度向质量也为 m 的静止小物块 B 运动。 A 、 B 发生正碰后， B 到达半圆弧轨道最高点时对轨道压力恰好为零， A 沿半圆弧轨道运动到与 O 点等高的 C 点时速度为零。已知重力加速度大小为 g ，忽略空气阻力。

（ 1 ）求 B 从半圆弧轨道飞出后落到水平面的位置到 Q 点的距离；

（ 2 ）当 A 由 C 点沿半圆弧轨道下滑到 D 点时， OD 与 OQ 夹角为 θ ，求此时 A 所受力对 A 做功的功率；

（ 3 ）求碰撞过程中 A 和 B 损失的总动能。

答案

（ 1 ） 2 R ；（ 2 ） ；（ 3 ）

【详解】

解：（ 1 ）设 B 到半圆弧轨道最高点时速度为 ，由于 B 对轨道最高点的压力为零，则由牛顿第二定律得

B 离开最高点后做平抛运动，则在竖直方向上有

在水平方向上有

联立解得

x= 2 R

（ 2 ）对 A 由 C 到 D 的过程，由机械能守恒定律得

由于对 A 做功的力只有重力，则 A 所受力对 A 做功的功率为

解得

（ 3 ）设 A 、 B 碰后瞬间的速度分别为 v 1 ， v 2 ，对 B 由 Q 到最高点的过程，由机械能守恒定律得

解得

对 A 由 Q 到 C 的过程，由机械能守恒定律得

解得

设碰前瞬间 A 的速度为 v 0 ，对 A 、 B 碰撞的过程，由动量守恒定律得

解得

碰撞过程中 A 和 B 损失的总动能为

解得