前言： 关于样条曲线的一些总结和使用，其中包含贝塞尔曲线的介绍。内容实际是为了解决在给定控制点的条件下，如何确定一个光滑曲线的问题。样条曲线被广泛应用于模型的几何重构平滑中。 下启：样条曲线(下)之插值问题

样条曲线(Spline Curves)： 是给定一系列控制点而得到的一条曲线，曲线形状由这些点控制。一般分为插值样条和拟合样条。

插值：在原有数据点上进行填充生成曲线，曲线必经过原有数据点。

拟合：依据原有数据点，通过参数调整设置，使得生成曲线与原有点差距最小（最小二乘），因此曲线未必会经过原有数据点。

样条曲线起源于一个常见问题，即已知若干点的条件下，如何得到通过这些点的一条光滑曲线？

一个简单且行之有效的方法是，把这些点作为限制点，然后在这些限制点中放置一条具有弹性的金属片，最后金属片绕过这些点后的最终状态即为所需曲线。而最终得到的形状曲线，就是样条曲线。这也是该名字的由来，其中金属片就是样条，形成的曲线就是样条曲线。如下图

该想法虽然巧妙，但显然不具有推广性。因此问题就出来了，如何将其抽象出一个数学模型，从而在已知控制点条件下，仅仅通过数学公式从而获得平滑的样条。

再简化一些，问题便是，如何在两点间进行插值，整体上获得一个平滑曲线。

贝塞尔曲线实际上就是一个样条曲线。可以通过多个控制点，插值获得一个平滑曲线。何为贝塞尔曲线？

从最简单的问题入手，假设有两点 P 0 , P 1 P_0,P_1 P0​,P1​（端点），如何根据两点确定一条(曲)线？

最简单的问题也有最简单的解答，确定的这条线就是连接 P 0 , P 1 P_0,P_1 P0​,P1​ 两点的线段。从计算机的角度而言，本没有连续的线，因为计算机数据本身就是离散的，因此计算机中线的描述也只是由无数个点组成。

那么，如何用计算机绘制出这条线呢，确切说，如何表达这条线段上任何位置的坐标呢？（其实本质上就是在两点间插值）

解答同样简单，线段上任意位置点坐标可以用一个比例参数 t 来表示，表达式为 P x = P 0 + ( P 1 − P 0 ) t = ( 1 − t ) P 0 + t P 1 ,      t ∈ [ 0 , 1 ] h e r e ,    P 0 P x P 0 P 1 = t P_x = P_0 + (P_1-P_0)t = (1-t)P_0 + tP_1,\ \ \ \ t\in [0,1] \\ here,\ \ \frac{P_0 P_x}{P_0 P_1} = t Px​=P0​+(P1​−P0​)t=(1−t)P0​+tP1​,    t∈[0,1]here,  P0​P1​P0​Px​​=t 实际上这就是一次的贝塞尔曲线的表达式。之所以为称为一次，是因为式中 t 的最高幂次为 1。对于式子的不同理解可以为， ( 1 − t ) (1-t) (1−t) 为 P 0 P_0 P0​ 权重，t 为 P 1 P_1 P1​ 权重，权重越大，越靠近对应的点。

问题来到三个点，即如果知道三个点 P 0 , P 1 , P 2 P_0,P_1,P_2 P0​,P1​,P2​，且 P 0 , P 2 P_0,P_2 P0​,P2​ 为端点，那么如何确定一条曲线呢？（理解贝塞尔曲线时，可以把 P 1 P_1 P1​看作是控制点，我们要的是在控制点下，对 P 0 , P 2 P_0,P_2 P0​,P2​ 两点间的插值）

最简单的想法是，直接连接 P 0 , P 1 P_0,P_1 P0​,P1​ 和 P 1 , P 2 P_1,P_2 P1​,P2​，得到两个线段就可以确定一个曲线，但这明显不是我们想要的，它不够平滑，往往一阶导还不连续（即不满足c1连续，下有详细叙述）。

第二个想法，可以考虑借用二次曲线，但如何在知道三点的情况下确定一个二次曲线呢？

最简单做法是列三个方程组，解方程，然后得到一个二次函数，也即确定了二次曲线，且通过已知的三点。同样，递推到更多已知点，也可以用相似的方法。对于 n 个点，可以使用 n-1 阶次的函数来确定一个唯一的曲线。这种方法也即是常用的多项式插值。前面，提到插值的特点在于，所有已知点都在最终确定的曲线上。

如何使用前述把 P 1 P_1 P1​当作控制点的思路来解决这个问题呢？即没必要所有点都处在最终确定的曲线上，是否可以参考上面两点情况下，使用权重或是比例参数 t 来确定一条曲线呢？

现在的目的就是，使用三点确定任意一点 P x P_x Px​ ，且最终由无数个 P x P_x Px​ 点形成的曲线连续可导（c1连续）。依据上面两点坐标下确定曲线任意点的思路，异想天开一下。先将三个点划分为两组，即 P 0 , P 1 P_0,P_1 P0​,P1​和 P 1 , P 2 P_1,P_2 P1​,P2​。对于两组点，分别使用上面结论，那么在参数 t 下，两组分别确定了两个任意点，记为 P i , P j P_i,P_j Pi​,Pj​ ，也即 P i = ( 1 − t ) P 0 + P 1 P j = ( 1 − t ) P 1 + p 2 P_i = (1-t)P_0 + P_1 \\ P_j = (1-t)P_1 + p_2 Pi​=(1−t)P0​+P1​Pj​=(1−t)P1​+p2​ 可参考下图中的 P i , P j P_i,P_j Pi​,Pj​ 。

但我们想要的是由 P 0 , P 1 , P 2 P_0,P_1,P_2 P0​,P1​,P2​ 三个点确定的唯一点 P x P_x Px​，而现在我们得到了两个点，那再使用一次 上面公式不就可以了。也即 P x = ( 1 − t ) P i + t P j P_x = (1-t)P_i + tP_j Px​=(1−t)Pi​+tPj​ 问题解决了。

幸运的是，对于 t ∈ [ 0 , 1 ] t\in [0,1] t∈[0,1] 最终确定的线是可导、平滑的。想法有点异想天开，但还是要总结一下，在基于此想法下，用到了三次上面两点下任意点的求法，且有 P 0 P i P 0 P 1 = P 1 P j P 1 P 2 = P j P x P i P j = t \frac{P_0 P_i}{P_0 P_1} = \frac{P_1 P_j}{P_1 P_2} = \frac{P_j P_x}{P_i P_j} = t P0​P1​P0​Pi​​=P1​P2​P1​Pj​​=Pi​Pj​Pj​Px​​=t 最终结果 P x = ( 1 − t ) P i + t P j = ( 1 − t ) [ ( 1 − t ) P 0 + t P 1 ] + t [ ( 1 − t ) P 1 + t P 2 ] = ( 1 − t ) 2 P 0 + 2 t ( 1 − t ) P 1 + t 2 P 2 P_x = (1-t)P_i + tP_j = (1-t)[(1-t)P_0 + tP_1] + t[(1-t)P_1 + tP_2] = (1-t)^2P_0 + 2t(1-t)P_1 + t^2 P_2 Px​=(1−t)Pi​+tPj​=(1−t)[(1−t)P0​+tP1​]+t[(1−t)P1​+tP2​]=(1−t)2P0​+2t(1−t)P1​+t2P2​

实际上，上述描述的就是抛物线的三切线定理（性质）。即对于一个抛物线，经过线上两点 P 0 , P 2 P_0,P_2 P0​,P2​ 的两个切线相交于 P 1 P_1 P1​ 点，经过在 P 0 , P 2 P_0,P_2 P0​,P2​ 间抛物线一点 P x P_x Px​ 的切线，与上述确定的两条切线交于 P i , P j P_i,P_j Pi​,Pj​ 。则有 P 0 P i P 0 P i = P 1 P j P 1 P 2 = P j P x P i P j \frac{P_0 P_i}{P_0 P_i} = \frac{P_1 P_j}{P_1 P_2} = \frac{P_j P_x}{P_i P_j} P0​Pi​P0​Pi​​=P1​P2​P1​Pj​​=Pi​Pj​Pj​Px​​ 如果令该比值为 t ，三个方程，三个未知点。最终可以同样反推到上述结果 P x = ( 1 − t ) 2 P 0 + 2 t ( 1 − t ) P 1 + t 2 P 2 P_x = (1-t)^2P_0 + 2t(1-t)P_1 + t^2 P_2 Px​=(1−t)2P0​+2t(1−t)P1​+t2P2​ 该结果，就是二次的贝塞尔曲线。同样二次的含义在于，t 的最高幂次为 2

前面"异想天开"的想法，在于说明，贝塞尔曲线是递推的，或者说是可以递推的。二阶贝塞尔曲线是两个一阶贝塞尔曲线的线性组合。同样的思维，三阶贝塞尔曲线由两个二阶贝塞尔曲线线性组合。因此我们可以确定三阶、四阶，以至于更高阶。

值得说明的是，photoshop中的钢笔工具就是应用的三次贝塞尔曲线。

假设一共有 n + 1 n+1 n+1 个点 P 0 , P 1 , ⋯   , P n P_0,P_1,\cdots,P_n P0​,P1​,⋯,Pn​ ，这 n + 1 n+1 n+1 个点确定了 n 次的贝塞尔曲线。

n 阶贝塞尔曲线 B n ( t ) B^{n}(t) Bn(t) 可以由前 n 个点决定的 n-1 次贝塞尔曲线 B n − 1 ( t ∣ P 0 , ⋯   , P n − 1 ) B^{n-1}(t|P_0,\cdots,P_{n-1}) Bn−1(t∣P0​,⋯,Pn−1​) 与 后 n 个点决定的 n-1 次贝塞尔曲线 B n − 1 ( t ∣ P 1 , ⋯   , P n ) B^{n-1}(t|P_1,\cdots,P_n) Bn−1(t∣P1​,⋯,Pn​) 线性组合递推而来，即 B n ( t ∣ P 0 , P 1 , ⋯   , P n ) = （ 1 − t ） B n − 1 ( t ∣ P 0 , P 1 , ⋯   , P n − 1 ) + t B n − 1 ( t ∣ P 1 , P 2 , ⋯   , P n ) B^{n}(t|P_0,P_1,\cdots,P_n) = （1-t）B^{n-1}(t|P_0,P_1,\cdots,P_{n-1}) + t B^{n-1}(t|P_1,P_2,\cdots,P_n) Bn(t∣P0​,P1​,⋯,Pn​)=（1−t）Bn−1(t∣P0​,P1​,⋯,Pn−1​)+tBn−1(t∣P1​,P2​,⋯,Pn​) 且一次贝塞尔曲线，即为由两点决定的线段，也即 B 1 ( t ∣ P 0 , P 1 ) = ( 1 − t ) P 0 + t P 1 B^1(t|P_0,P_1) = (1-t) P_0 + tP_1 B1(t∣P0​,P1​)=(1−t)P0​+tP1​ 可以得到 n 次贝塞尔曲线的表达通式为 B ( t ) = ∑ i = 0 n C n i ( 1 − t ) n − i t i P i B(t) = \sum\limits_{i=0}^n C_n^i(1-t)^{n-i}t^i P_i B(t)=i=0∑n​Cni​(1−t)n−itiPi​

python

结果

说明

上面提到了c1连续，在计算机图像学中，有详细描述

为理解说明，假设有两个曲线 f ( x ) , x ∈ [ a , b ] f(x),x\in[a,b] f(x),x∈[a,b] 和 g ( x ) , x ∈ [ b , c ] g(x),x\in[b,c] g(x),x∈[b,c]，

c 0 c^0 c0连续：即函数连续，不存在间断点。实例中 f ( b ) = g ( b ) f(b) = g(b) f(b)=g(b)

c 1 c^1 c1连续：函数的一阶可导且导数连续。实例中 f ′ ( b ) = g ′ ( b ) f'(b) = g'(b) f′(b)=g′(b)

c 2 c^2 c2连续：函数的二阶可导且导数连续。实例中 f ′ ′ ( b ) = g ′ ′ ( b ) f''(b) = g''(b) f′′(b)=g′′(b)

c n c^n cn连续：函数的 n n n阶可导且导数连续。实例中 f ( n ) ( b ) = g ( n ) ( b ) f^{(n)}(b) = g^{(n)}(b) f(n)(b)=g(n)(b)

更详细说明和实例可以参考维基：光滑函数

在剖物线三切线定理中，最初想法是三点直接相连，得到曲线虽然 c 0 c^0 c0 连续，但不满足 c 1 c^1 c1 连续。为了解决这个问题，进而使用了二次的贝塞尔曲线。

问题是，对于一个复杂弯曲的曲线，我们希望使用一个贝塞尔曲线来插值获得目标曲线，为此我们可以通过增加控制点来进行插值。但目标曲线越复杂，需要的控制点就越多，而 贝塞尔曲线幂次 = 控制点个数 - 1，即需要的计算也越复杂。该方法虽然可行，但是不明智的，低效率的。另外对于单一的贝塞尔曲线，改变其中一个控制点，那么整条曲线都会随之改变。

因此对于复杂曲线，一般做法是，使用三次贝塞尔曲线（常用次）一段一段地拼接成目标曲线，正如 Ps 或 Ai 中使用钢笔工具画出物体轮廓所做的那样。 如果使用这种方法，确保最终整体曲线 c 1 c^1 c1 连续的条件是 在连接点出两侧的斜率相等，即连接点和其两侧控制点共线。

下图是由两个三次贝塞尔曲线组成的曲线

假设从左到右点依次为 P 0 , P 1 , ⋅ , P 7 P_0,P_1,\cdot,P_7 P0​,P1​,⋅,P7​ ，确保两段曲线拼接起来 c 1 c^1 c1 连续的条件就是 P 2 , P 3 , P 4 P_2,P_3,P_4 P2​,P3​,P4​ 三点共线。

回到最初问题上，通过一系列点，获取一条光滑的曲线。也即通过这些控制点，生成一系列点坐标，这些点坐标形成光滑曲线。

对于贝塞尔曲线上点的生成，是通过如下方程函数 B ( t ) = ∑ i = 0 n C n i ( 1 − t ) n − i t i P i   ,      t ∈ [ 0 , 1 ] B(t) = \sum\limits_{i=0}^n C_n^i(1-t)^{n-i}t^i P_i\ ,\ \ \ \ t\in[0,1] B(t)=i=0∑n​Cni​(1−t)n−itiPi​ ,    t∈[0,1] 或者展开写成这样 B ( t ) = W t , n 0 P 0 + W t , n 1 P 1 + ⋯ + W t , n n P n B(t) = W_{t,n}^0 P_0 + W_{t,n}^1 P_1 + \cdots + W_{t,n}^n P_n B(t)=Wt,n0​P0​+Wt,n1​P1​+⋯+Wt,nn​Pn​ 其中 W t , n 0 W_{t,n}^0 Wt,n0​ 为 P 0 P_0 P0​ 前系数，是最高幂次为 n 的关于 t 的多项式。当 t 确定后，该值就为定值。

因此整个式子可以理解为 B(t) 插值点是这 n+1 个点施加各自的权重 W 后累加得到的。这也是为什么改变其中一个控制点，整个贝塞尔曲线都会受到影响。

其实对于样条曲线的生成，思路就是这样的，最终曲线的生成，就对于各个控制点施加权重即可。在贝塞尔曲线中，该权重是关于 t 的函数即 W i = C n i ( 1 − t ) n − i t i W^i = C_n^i(1-t)^{n-i}t^i Wi=Cni​(1−t)n−iti

在B样条中，只不过这个权重设置更复杂点，下面一点点剖析其B样条曲线形成的原理。

上面提到，生成曲线，本质上就是在控制点前增加一个权重，然后累加即可。那么B样条中权重是如何计算的呢？

先介绍几个概念，容易混淆的概念，不太理解其来由也没关系。下面会一点点指出其用处。

下面用一个实例来说明

如上图，对应为

控制点有 n+1 = 5 个，n=4，即 P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , P 4 P_0,P_1,P_2,P_3,P_4 P0​,P1​,P2​,P3​,P4​

节点规定为 m+1 = 10 个，m=9，即 t 0 , t 1 , ⋯   , t 9 t_0,t_1,\cdots,t_9 t0​,t1​,⋯,t9​ ，该节点将要生成的目标曲线分为了 9 份，这里的 t 取值一般为 0-1的一系列非递减数。如 0 代表起始位置，1 代表末位置，0.5 代表一半的位置。 t 0 , t 1 , ⋯   , t 9 t_0,t_1,\cdots,t_9 t0​,t1​,⋯,t9​ 组成的序列，叫做节点表。如等分的节点表 { 0 , 1 9 , 2 9 , 3 9 , 4 9 , 5 9 , 6 9 , 7 9 , 8 9 , 1 } \{0,\frac{1}{9},\frac{2}{9},\frac{3}{9},\frac{4}{9},\frac{5}{9},\frac{6}{9},\frac{7}{9},\frac{8}{9},1 \} {0,91​,92​,93​,94​,95​,96​,97​,98​,1} 。

次为 k 。实际上有个必须要满足的关系式为 m = n + k + 1 m=n+k+1 m=n+k+1 ，即 k = m − n − 1 = 4 k = m-n-1 = 4 k=m−n−1=4 ，先对这个关系式有个印象即可。

下面开始用上面例子说明 B样条 是如何工作的。

我们的目的就是获取最终样条曲线，而根据前述，也即是获得任意点的坐标值，即 t ∈ [ 0 , 1 ] t\in[0,1] t∈[0,1] 时，获得一系列的点，这些点最终组成了目标曲线。这些点的坐标可以表示为 各控制点 P i P_i Pi​ 与其权重 W i W_i Wi​ 的乘积再累加，即 B ( t ) = ∑ i = 0 n W i P i B(t) = \sum\limits_{i=0}^n W_iP_i B(t)=i=0∑n​Wi​Pi​ 也即我们获得 W i W_i Wi​ 即可。 W i W_i Wi​ 是关于 t 的函数，最高幂次为 k。B样条中通常记为 B i , k ( t ) B_{i,k}(t) Bi,k​(t) ，即 表示第 i 点的权重，关于 t 的函数，且最高幂次为 k。而这个权重函数 B i , k ( t ) B_{i,k}(t) Bi,k​(t) ，在B样条里叫做 k次B样条基函数。

下面就是关键，权重函数 B i , k ( t ) B_{i,k}(t) Bi,k​(t) 是如何取值的？这里就要用到前面的节点表的值了。针对上面实例，我们现在的目标是获取 5 个控制点 P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , P 4 P_0,P_1,P_2,P_3,P_4 P0​,P1​,P2​,P3​,P4​ 对应的 5 个权重值 B 0 , 4 , B 1 , 4 , B 2 , 4 , B 3 , 4 , B 4 , 4 B_{0,4},B_{1,4},B_{2,4},B_{3,4},B_{4,4} B0,4​,B1,4​,B2,4​,B3,4​,B4,4​

B样条是如何做的？先看如下一个列表

我们的目标是获得右侧五个值，这里 k 的取值假设是不知道的（虽然是 4 ），大可当作不知道。

表中 b i , k b_{i,k} bi,k​ 代表含义跟 B i , k B_{i,k} Bi,k​ 是一样的，因为不是我们需要的最终值，而是需要求解的中间递推值，所以用小写表示。对于B样条权重，其是根据节点来计算，理论上，m+1个节点，可以得到如表所示的，每个k对应 9(m=9) 个b值，但我们最终只需要5个值，所以就需要对应规则限制。B样条获取5个权重值过程和规则如下（B样条基函数）

k = 0 时，即 0 次时，如果 t ∈ [ t j , t j + 1 ] t\in [t_j,t_{j+1}] t∈[tj​,tj+1​] ，那么规定 b j , 0 = 1 b_{j,0} = 1 bj,0​=1， 其余都为 0。如 t ∈ [ t 2 , t 3 ] t\in[t_2,t_3] t∈[t2​,t3​] 就有如下结果

k = 1 时， b j , 1 b_{j,1} bj,1​ 取值与低一次的相邻两节点相关，即与 0 次同域两端的节点相关。即 b j , 1 b_{j,1} bj,1​ 求解与 b j , 0 , b j + 1 , 0 b_{j,0},b_{j+1,0} bj,0​,bj+1,0​ 相关，如 b 1 , 1 b_{1,1} b1,1​ 就是依据 b 1 , 0 , b 2 , 0 b_{1,0},b_{2,0} b1,0​,b2,0​ 求得。求解关系形式为 b j , 1 = A ( t )   b j , 0 + B ( t )   b j + 1 , 0 b_{j,1} = A(t)\ b_{j,0} + B(t)\ b_{j+1,0} bj,1​=A(t) bj,0​+B(t) bj+1,0​ 这里 A(t), B(t) 是关于 t 的一次幂函数。具体为 A ( t ) = t − t j t j + k − t j B ( t ) = t j + k + 1 − t t j + k + 1 − t j + 1 A(t) = \frac{t-t_j}{t_{j+k}-t_j} \\ B(t) = \frac{t_{j+k+1}-t}{t_{j+k+1}-t_{j+1}} A(t)=tj+k​−tj​t−tj​​B(t)=tj+k+1​−tj+1​tj+k+1​−t​ 这里又涉及到“莫名其秒的下标，但涉及下标的那些值都为定值，此时只要记得是关于 t 的一次函数即可。这里有点类似与贝塞尔函数中递推过程中的前两值的线性组合。

我们用箭头表示上述计算过程，如下

值得说明的两点：

k = 2 时，同样的过程，不再以表列出，同样有些 b j , 2 b_{j,2} bj,2​ 会取值为 0。有些值为非 0, 不同的一点在于，此时系数又乘了一次 A,B 函数，因此那些非 0 值，此时是关于 t 的二次幂函数。另外得到的 b b b 减少了 **2（k=2）**个，还剩 m − k = 9 − 2 = 7 m-k = 9-2 = 7 m−k=9−2=7 个。

k = x时，同样，非0值会是关于 t 的 x 次函数，这也是为什么 k 会是 t 的最高次幂。b 会减少 k 个，还剩 m − k m-k m−k 。

我们最终那个需要 5 个（即 n+1 个）值，那么就需要有 m − k = n + 1 m-k = n + 1 m−k=n+1 ，也即 m = k + n + 1 m = k + n + 1 m=k+n+1 ，这便是上面说到的 m , n , k m,n,k m,n,k 关系式的由来。所以实例中 k = m − n − 1 = 9 − 4 − 1 = 4 k = m-n-1 = 9-4-1 = 4 k=m−n−1=9−4−1=4 ，即当 k=4 时，恰好还剩 5 个 b 值，就是我们需要的B样条基函数B。此时，最高幂次为 4。最终图表示意如下：

该图表表示的是在 t 取值在 [ t 2 , t 3 ] [t_2,t_3] [t2​,t3​] 范围时，求得的 5 个控制点对应的权重 B j , 4 B_{j,4} Bj,4​（基函数），最终结果 B 0 , 4 , B 1 , 4 , B 2 , 4 B_{0,4},B_{1,4},B_{2,4} B0,4​,B1,4​,B2,4​ 都为非0值，且是关于 t 的四次函数， B 3 , 4 , B 4 , 4 B_{3,4},B_{4,4} B3,4​,B4,4​ 为 0。 也就是说，本例中， [ t 2 , t 3 ] [t_2,t_3] [t2​,t3​] 区间的曲线上点不受第四和第五个控制点变化的影响。

这就是所有的 B样条曲线生成的工作原理。

值得注意的几点性质：

将上面过程作为严谨的数学描述

对于 n+1 个控制点 P 0 , P 1 , ⋯   , P n P_0,P_1,\cdots,P_n P0​,P1​,⋯,Pn​ ，有一个包含 m+1 个节点的列表（或节点向量） t 0 , t 1 , ⋯   , t m {t_0,t_1,\cdots,t_{m}} t0​,t1​,⋯,tm​ ，其 k 次B样条曲线表达式为（且m=n+k+1） P ( t ) = ∑ i = 0 n B i , k ( t )   P i P(t) = \sum\limits_{i=0}^n B_{i,k}(t)\ P_i P(t)=i=0∑n​Bi,k​(t) Pi​ 其中 B i , k ( t ) B_{i,k}(t) Bi,k​(t) 称为 k 次 B 样条基函数，也叫调和函数。且 B i , k ( t ) B_{i,k}(t) Bi,k​(t) 满足如下递推式（de Boor递推式） k = 0 ,      B i , 0 ( t ) = { 1 ,      t ∈ [ t i , t i + 1 ] 0 ,          O t h e r w i s e k > 0 ,      B i , k ( t ) = t − t i t i + k − t i B i , k − 1 ( t ) + t i + k + 1 − t t i + k + 1 − t i + 1 B i + 1 , k − 1 ( t ) k = 0,\ \ \ \ B_{i,0}(t) = \left\{ \begin{matrix} 1, \ \ \ \ t\in[t_i,t_i+1] \\ 0, \ \ \ \ \ \ \ \ Otherwise \end{matrix} \right.\\ k > 0,\ \ \ \ B_{i,k}(t) = \frac{t-t_i}{t_{i+k}-t_i} B_{i,k-1}(t) + \frac{t_{i+k+1}-t}{t_{i+k+1}-t_{i+1}} B_{i+1,k-1}(t) k=0,    Bi,0​(t)={1,    t∈[ti​,ti​+1]0,        Otherwise​k>0,    Bi,k​(t)=ti+k​−ti​t−ti​​Bi,k−1​(t)+ti+k+1​−ti+1​ti+k+1​−t​Bi+1,k−1​(t)

c o n t r o l P o n t s = [ [ 50 , 50 ] , [ 100 , 300 ] , [ 300 , 100 ] , [ 380 , 200 ] , [ 400 , 600 ] ] k n o t s = { 0 , 0 , 2 9 , 4 9 , 5 9 , 1 , 1 , 1 } n = 4 , m = 7 , k = 2 controlPonts = [[50,50], [100,300], [300,100], [380,200], [400,600]]\\ knots = \{0,0,\frac{2}{9},\frac{4}{9},\frac{5}{9},1,1,1\} \\ n=4,m=7,k=2 controlPonts=[[50,50],[100,300],[300,100],[380,200],[400,600]]knots={0,0,92​,94​,95​,1,1,1}n=4,m=7,k=2

c o n t r o l P o n t s = [ [ 50 , 50 ] , [ 100 , 300 ] , [ 300 , 100 ] , [ 380 , 200 ] , [ 400 , 600 ] ] k n o t s = { 0 , 0 , 0 , 4 9 , 5 9 , 1 , 1 , 1 } n = 4 , m = 7 , k = 2 controlPonts = [[50,50], [100,300], [300,100], [380,200], [400,600]]\\ knots = \{0,0,0,\frac{4}{9},\frac{5}{9},1,1,1\} \\ n=4,m=7,k=2 controlPonts=[[50,50],[100,300],[300,100],[380,200],[400,600]]knots={0,0,0,94​,95​,1,1,1}n=4,m=7,k=2

详细样条曲线插值原理见下篇: 样条曲线(下)之插值问题