原标题：方向导数和梯度是什么？

为什么梯度的方向是函数在该点的方向导数最大的方向，梯度的模是最大方向导数的值？大家在看复习全书时，有认真想过这个问题吗？小编在本文以二元函数为例详细讲解方向导数和梯度，并试图以尽可能通俗地语言回答上述问题。

1.梯度

首先看看二元函数梯度的定义：

如果函数f(x,y)在定义域D内具有一阶连续偏导数，则对于定义域内D每一点P(x0, y0)，都存在如下向量：

则称上述向量为函数f(x,y)在点P的梯度，记作：

而下面的算子称为向量微分算子或哈密顿算子(nabla算子)：

至于为什么在梯度定义中，要附加强要求，即函数f(x, y)在定义域内具有一阶连续偏导数，说实话，小编也没搞清楚。有人说具有一阶连续偏导，则必然可微，然后可以将梯度和方向导数联系起来，这说法有一定道理，但是可微与一阶连续偏导并不是等价的。尽管学习时有些知识点不甚理解，但是切记一定要以定义为准，科学家之所以这么定义，必然有其实际和理论上的考虑。

接下来，仔细看看梯度。函数f(x,y)在点P的梯度是向量，向量是有大小和方向的，那函数在P点梯度的方向和大小是？

这就涉及到向量的加法了，请看下图。下图标红色的部分用向量l表示，向量l的方向就是梯度的方向，向量l的模就是梯度的大小。

图1. 梯度示意图

2.方向导数

在讨论方向导数前，大家还记得导数、偏导数的几何意义吗？在一元函数中，某一点的导数就是曲线在该点的切线的斜率，也就是反映函数在该点的变化率。在二元函数中，偏导数反映的是函数沿x轴方向或y轴方向的变化率。而方向导数描述的是函数沿某一方向的变化率，在二元函数中，除了坐标轴两个方向外，还存在其它无数个方向，因此，方向导数用于研究函数沿各个不同方向时函数的变化率。

同偏导数定义类似，请看看下面这种方向导数的定义：

结合下面这道例题来帮助大家理解方向导数的定义：

首先要确定直线l的方向，看下图：

图2. 方向导数中直线l的方向示意图

在图2中α、β分别为直线l与x轴正方向、y轴正方向的夹角。α、β共同表示直线l的方向。由图2，不难得出如下关系式：

现在假设在直线l上的点P，沿着直线l正方向即箭头方向前进一个单位长度1，对应于在横轴上移动cosα，在纵轴上移动cosβ。也就是说，当从p点沿直线正方向移动距离t时，二元函数自变量x变动tcosα，自变量y变动tcosβ，此时方向导数定义将变为如下形式：

按照上述定义，将函数z的相关数据带入进去，得：

现在看看方向导数与偏导数的关系。若函数f(x, y)在点P(x0, y0)可微，有：

至于如何证明上式，只要大家结合前面两个关于方向导数的定义，不难证明，你试试吧！

3.方向导数与梯度的关系

为方便理解，不妨把方向导数与梯度的条件和关系式放到：

方向导数是标量，只有大小，没有方向。当函数f(x, y)在点P(x0, y0)可微时，存在如下关系式：

梯度是矢量，既有大小，又有方向，且梯度前提是函数f(x, y)具有连续一阶可偏导：

从方向导数和梯度的定义看，给定曲线上一点，梯度也随之确定，但是方向导数还没确定，所以可以从方向导数推向梯度。

可能你认为当cosα=cosβ=1，方向导数最大，但是你忽略了可行性的问题，因为没有哪条直线能够既与x轴重合，由于y轴重合。事实上α与β存在如下关系：

将上式带入方向导数定义中，可得：

从上式，可以轻松得到如下结论：

方向导数最大的方向，为梯度方向，最大方向导数是梯度的模。

方向导数最小的方向，为梯度方向的反方向，最小方向导数是梯度的模的相反数。

责任编辑：