新高考背景下的切线问题研究

一．基本原理

1. 

用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：

①求出切点

0

0

(

,

(

))

x

f

x

的坐标；

②求出函数

(

)

y

f

x



在点

0

x

处的导数

0

(

)

f

x



③得切线方程

0

0

(

)

(

)(

)

y

f

x

f

x

x

x









2.

求过点

A

处切线方程方法如下：

设切点为

0

0

(

,

)

P

x

y

，则斜率

0

(

)

k

f

x





，过切点的切线方程为：

0

0

0

(

)(

)

y

y

f

x

x

x









，

∵过点

(

,

)

A

m

n

，

∴

0

0

0

(

)(

)

n

y

f

x

m

x









然后解出

0

x

的值，

0

x

有几个值，

就有几条切线

. 

3.

若函数

)

(

x

f

y



的图象在点

)

,

(

1

1

y

x

A

处的切线与函数

)

(

x

g

y



的图象在点

)

,

(

2

2

y

x

B

处

的切线相同

（公切线）

，

则等价于

)

(

x

f

的图象在点

A

处的切线：

)

)(

(

)

(

1

1

'

1

x

x

x

f

x

f

y







与

)

(

x

g

的图象在点

B

处的切线：

)

)(

(

)

(

2

2

'

2

x

x

x

g

x

g

y







重合

.

进一步等价于下列方程

组有解：























)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

'

2

2

1

'

1

1

2

'

1

'

x

g

x

x

g

x

f

x

x

f

x

g

x

f

. 

4.

若动点

C

为函数

)

(

x

f

y



图象上任一点，直线

l

与

)

(

x

f

y



图象相离，则

C

到

l

距离的

最小值为函数

)

(

x

f

y



图象在点

C

处的切线与

l

平行时产生，故此时最小距离即为切点到

直线

l

的距离

. 

5.

切线不等式求解双参数恒成立问题，分离性常见的两个不等式

: 

（

1

）与

x

e

有关：

0

,

1







x

x

e

x

；

0

,





x

ex

e

x

. 

（

2

）与

x

ln

有关：

0

,

ln

1







x

x

x

几何解释：凸函数的图象上切线总在图象的下方；几何解释：凹函数的切线总在的上方；

可以看到，分离性是导数中切线放缩的理论依据

. 

二．典例分析

例

1.

已知直线

2

1

y

x





与曲线

ln(3

)

y

x

t





相切，则实数

t

的值为

__________

．

解析：依题意，设切点坐标为

0

0

(

,ln(3

))

x

x

t



，由

ln(3

)

y

x

t



