1.圆周运动；2.向心力；3.向心加速度；4.生活中的圆周运动

（1）线速度

定义：物体做圆周运动，在一段很短的时间内，通过的弧长为。则与的比值叫作线速度，公式：。

意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢。单位：米每秒，符号为或。

方向：为物体做圆周运动时该点的切线方向。线速度是物体做圆周运动的瞬时速度，线速度越大，物体运动得越快。

匀速圆周运动(uniform circular motion)：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率不变。

（2）角速度(angular velocity)

定义：连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值，公式：。

意义：描述物体绕圆心转动的快慢,角速度越大，物体转动得越快。

单位：弧度每秒，符号是或。匀速圆周运动是角速度不变的运动。

线速度与角速度的关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积，即。

（3）周期(period)

周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间，单位：秒(s)；一般用符号T表示；单位：秒(s)。

转速：物体转动的圈数与所用时间之比；一般用符号n表示；单位：转每秒(r/s)或转每分(r/min)。

当单位时间取1s时，。频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的，但频率具有更广泛的意义，两者的单位也不相同。

周期、频率合转速间的关系：(n的单位为r/s)。

（4）对匀速圆周运动的理解

①由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周上各点的切线方向，所以速度的方向时刻在变化。

②匀速的含义：速度的大小不变，即速率不变。

③运动性质：匀速圆周运动是一种变速运动，其所受合外力不为零。

④匀速圆周运动具有周期性，每经过一个周期，线速度大小和方向与初始时刻完全相同。

（5）描述匀速圆周运动各物理量之间的关系

①；②；③。

物体做匀速圆周运动时，由可知，加速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也确定了。

由线速度大小可知，r一定时，；v一定时，；一定时，。

（6）同轴转动合皮带传动问题

【同轴转动】

如下图，A、B两点在同轴的一个圆盘上。

特点：加速度、周期相同。规律：线速度大小与半径成正比，即。

【皮带传动】

如下图，两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点。

特点：线速度大小相等。角速度与半径成反比，即。

【齿轮传动】

如下图，两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点。

特点：线速度大小相等。规律：加速度与半径成反比，即。

（1）向心力(centripetal force)

定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力。

方向：无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。

向心力的大小：。

向心力作用效果：改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小。

【向心力来源】

根据力的作用效果命名的，它由某个力或者几个力的合力提供，也可以是某个力的分力提供。

①当物体做匀速圆周运动时，由于物体线速度大小不变，沿切线方向的合外力为零，物体受到的合外力一定指向圆心，以提供向心力。

②当物体做非匀速圆周运动时，其向心力为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小。

【求解匀速圆周运动问题的一般步骤】

①确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面)。

②受力分析，确定向心力的大小(合成法、正交分解法等)。

③根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程。

④统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论。

【几种常见的匀速圆周运动】

这里列举了四种，如下表。

（2）变速圆周运动和一般的曲线运动

【变速圆周运动】

受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果，如下图所示。

方向与物体的运动方向相同，跟圆周相切的分力，会改变线速度的大小；指向圆心分力，会改变线速度的方向。

某一点的向心力仍可以用公式求解。

【一般的曲线运动】

一般的曲线运动的运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。

一般曲线运动的处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，每一小段可以看作圆周运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理。

①合外力方向与速度方向夹角为锐角时，速率越来越大。

②合外力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小。

（1）匀速圆周运动的加速度方向

定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度。

向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变。

向心加速度的作用效果：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。

（2）匀速圆周运动的加速度大小

向心加速度公式：。拓展公式：。

适用范围：向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某一位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。

向心加速度与半径的关系，见下图。

圆周运动的性质：不论向心加速度的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。

变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢，所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。

（3）向心加速度公式的应用技巧

向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系。

①先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。

②线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比；角速度相同时，向心加速度与半径成正比。

（1）火车转弯

【铁轨弯道的特点】

①弯道处外轨略高于内轨。

②在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和弹力的合力来提供，若火车按规定的速度行驶，则有，如图6所示，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角。

③火车转弯时铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道的内侧。支持力与重力的合力指向圆心，如图6所示。

若铁轨弯道的内外轨一样高，火车转弯时，由外轨对轮缘的弹力提供向心力，由于质量太大，故需要很大向心力，靠这种方法得到向心力，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻。

【速度与轨道压力的关系】

①当火车行驶速度v等于规定速度时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道对火车无挤压作用。

②当火车行驶速度时，外轨道对轮缘有侧压力。③当火车行驶速度时，内轨道对轮缘有侧压力。

（2）拱形桥

分为拱形桥和凹形桥两种情形，

【汽车过拱形桥】

汽车通过最高点时，向心力大小：；对桥的压力：。

推论：①当时，；②当时，；③当时，汽车将脱离桥面做平抛运动，易发生危险。

结论：汽车通过最高点时，向心加速度向下，对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小，此时汽车处于失重状态。

【汽车过凹形桥】

向心力大小：；对桥的压力：。

结论：当汽车通过凹形桥的最低点时，向心加速度向上，汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越大，此时汽车处于超重状态。由于汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥。

（3）航天器的失重现象

质量为M的航天器在近地轨道运行时，航天器重力提供向心力，满足关系：，则。

宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可得：，即。

完全失重状态：座舱对宇航员的支持力，宇航员处于完全失重状态，此时。绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态，航天器内的任何物体也都处于完全失重状态。

（4）离心运动

定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动。

离心运动产生原因：提供向心力的合力突然消失或合力不足以提供所需的向心力。

注意：物体做离心运动并不是物体受到“离心力”作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力。所谓“离心力”实际上并不存在。

【合力与向心力的关系】

①如图9，当或，物体做匀速圆周运动，供求平衡。

②当或，物体做近心运动，供过于求。

③当或，则合力不足以将物体“拉回”到原轨道上，而做离心运动，需求大于供给。

④当，则物体沿切线方向做直线运动。

（5）竖直面内的圆周运动

【绳模型】

如图11所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例。

①在最低点处绳子拉力

②在最高处绳子拉力

③最高点最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由可知，当时，最小，最小速度为。

当时，拉力或压力为0；当，小球受向下的拉力或压力；当，小球达不到最高点。

【轻杆模型】

如图11所示，细杆上固定的小球和光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下做圆周运动。

①最高点的最小速度

由于杆和管在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度，此时小球受到的支持力。

②小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况

当时，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，F随v增大而增大。

当时，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，。

当时，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，F随v的增大而减小。