简述如何判断一个二次型是否正定？高等代数题判别二次型是否正定票，求各位解答 需要解题步骤，怎么判定一个二次型是正定的？如何判断一个矩阵是正定，负定二次型？怎么判定二次型是正定还是半正定？正定二次型的判定方法。

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设A是二次型的矩阵

则A正定(即二次型正定)的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于零.

所以, 只要计算A的各阶顺序主子式就可以了.

当然, 也有特殊情况, 用定义直接证明二次型正定.

像这种给出了二项式的具体表达式的的问题，以下两种方法是最好的：

1、用其矩阵的各阶顺序主子式，如果各阶顺序主子式都大于0，则二次型是正定的，否则非正定。

2、求出其矩阵的三个特征值，如果所有特征值都大于0，则则二次型是正定的，否则非正定。

第一题中，二次型的矩阵为：

5 2 0

2 1 0

0 0 3

其各阶顺序主子式为

P1=5>0，P2=5-4=1>0,P3=3*1=3>0

故该二次型是正定的。

第二题你可仿照这方法自己判断以下。

1、行列式法

对于给定的二次型

，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

2、正惯性指数法

对于给定的二次型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于n来判定二次型的正定性。

扩展资料：

二次型是n个变量上的二次齐次多项式。下面给出一个、两个、和三个变量的二次形式：;

其中a, ...,f是系数。注意一般的二次函数和二次方程不是二次形式的例子，因为它们不总是齐次的。

任何非零的n维二次形式定义在投影空间中一个 (n-2)维的投影空间。在这种方式下可把3维二次形式可视化为圆锥曲线。

术语二次型也经常用来提及二次空间，它是有序对（V,q），这里的V是在域k上的向量空间，而q:V→k是在V上的二次形式。例如，在三维欧几里得空间中两个点之间的距离可以采用涉及六个变量的二次形式的平方根来找到，它们是这两个点的各自的三个坐标。

参考资料来源：百度百科-正定二次型

判断一个矩阵是正定，负定二次型的步骤如下：

1、正定二次型和负定二次型的基本定义：

2、判定正定二次型的充要条件：

3、矩阵是正定，负定二次型基本推论：

4、求二次型是否正定：

5、判断二次型的正定性：

6、判断二次型的正负：

7、正定二次型的简单性质，这样判断一个矩阵是正定，负定二次型的问题就解决了。

1、行列式法

对于给定的二次型

写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

2、正惯性指数法

对于给定的二次型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于n来判定二次型的正定性。